Çember bir çokgen midir ?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
96 kez görüntülendi
Aslinda kafama takılan asıl soru Çember sonsuz kenarlı mıdır yoksa kenarsiz mıdır ?

Sonsuz kenarlı olduğunu düşünme sebebim biraz basite kaçıyor aslında cokgenlerde kenar sayısı arttıkça gittikçe çembere benziyor. 

Sonsuz kenarlı ise kenar sayısı 2 den fazla olduğu için cokgendir diyicem fakat çember kenarsizsa çokgen değildir zaten yanlış mıyım ?


26, Mayıs, 26 Orta Öğretim Matematik kategorisinde 880066n (15 puan) tarafından  soruldu

Biraz araştırma yaptım internetten tartışmalı konuymus galiba biraz



Çokgeni ; "$n\in N$ ve $n\geq 3 $  olmak üzere düzlemin  herhangi üçü doğrusal olmayan $A_1,A_2,A_3,...,A_n$ noktalarının ardışık olarak birleştirilmesinden oluşan kapalı geometrik şekle çokgen denir " diye tanımlıyoruz değil mi? Tabii çokgenleri de konkav(iç bükey) ve konveks (dış bükey) olmak üzere iki gruba ayırıyoruz. Bunları neye göre iki gruba ayırdığımızı bildiğinizi ve düşündüğünüz çokgenin konveks olduğunu sanıyorum. 

Şimdi kenar sayısı $n\geq3$ olan düzgün çokgenleri düşünelim. (Düzgün olmayanlarda olabilir.)

$n=3$ için eşkenar üçgen,

$n=4$ için kare,

$n=5$ için düzgün beşgen,

$n=6$ için düzgün altıgen,

ve böylece devam edersek (yani kenar sayısı olan $n$ değerinin birer birer artırarak sınırsız büyütürsek) $\lim\limits_{n\to \infty}(çokgen)\rightarrow çember$ olacaktır.  Yani çembere sonsuz sayıda kenara sahip düzgün bir çokgen olarak bakılabilir. 

Uzunluğu $l$ birim olan bir doğru parçasından düzgün olmak üzere üçgen,kare, beşgen,altıgen,...,çember elde edersek  bunlar içinde en büyük alanı çemberin sınırladığını görürüz.

Yine konveks çokgenlerin iç açı ölçüleri kenar sayısına bağlı olarak değiştiği halde dış açı ölçüleri sabit olup $360^0$ dir. Çemberin çevresini $360^0$ derece kabul etmemizin kim bilir belkide bir sebebi budur.

Çok teşekkür ediyorum harika aciklamissiniz

Sonsuz kenarlı çokgenin çember olduğu fikrine katılmıyorum. Yani sonsuz kenarlı çokgen çembere benzer belki ama $n$ bir doğal sayı olduğundan çember çokgen üzerinde olmayan birçok hatta sonsuz noktaya sahiptir. 

Yalnız burada söz konusu olan çokgen düzgün çokgendir. Her düzgün çokgenin bir çevrel çemberi vardır.

Aslında düzgün çokgen demek istedim Mehmet hocam, eksik olmuş. 

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$n$  bir doğal sayı olmak üzere çember üzerinde birbirine eşit uzaklıkta $n$  tane nokta seçelim ve bunları birbirleriyle birleştirerek $n$  kenarlı düzgün çokgeni elde edelim. $n$  sayısını arttırdıkça oluşan çokgenlerin şekli çembere daha çok benzeyecektir. Ancak $n$  sayısı sonsuza bile gitse ve oluşan çokgenler ne kadar çembere benzese, hatta  $n \to \infty$ olduğunda oluşan çokgenin çevresi ve alanı çember ve daire ile aynı olsa da tam bir çember yerine " delikli" bir çember elde edilir. $n$  bir doğal sayı olduğundan $n \to \infty$ durumunda dahi çokgenin köşe noktaları arasında delikler/boşluklar olacaktır; bu delikler çember üzerindeki irasyonel noktaların yeridir. Bunun nedeni, sayılabilir olan bir küme ile (doğal sayılar kümesi) sayılamaz olan bir kümeyi (yani çember üzerindeki noktaları ya da bir noktası çıkartılmış çember bir doğruya homeomorf olduğundan, bir doğru üzerindeki noktalar da denebilir) örtmeyi denememizdir. Sonuç olarak sonsuz kenarlı bir düzgün çokgen gerçek anlamda bir çember değildir.

2, Ağustos, 2 alpercay (1,689 puan) tarafından  cevaplandı
2, Ağustos, 2 alpercay tarafından düzenlendi
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Ben de çemberin, çokgen olmadığını düşünüyorum. Sonuç olarak çokgenin tanımında geçen herhangi üçü $n$ tane noktadan bahsederken $n$ nin bir doğal sayı olduğunu belirtiyoruz. Çemberde sonlu sayıda köşe olmadığı için çokgen tanımına uymuyor. Temel olarak bu yüzden çember, bir düzgün çokgen değildir. Tanıma uymadığı için.

Öte taraftan eski çağlardan beri bilinen bir gerçek şudur: $n \to \infty $ limit durumunda çokgenin çevresi, çemberin çevresine yaklaşmakta. Çokgen bölgenin alanı da çemberin sınırladığı bölgenin alanına yaklaşmakta. Siraküzalı Arşimet'in bu prensibi kullanarak $\pi$'nin değeri için bazı aralıklar elde ettiğini biliyoruz. Hem çember'in ve $\pi$'nin anlaşılması, hem bu kavramların öğretiminde sağlayacağı kolaylığı da göz önüne alarak çembere çokgen muamelesi yapmakta pedagoji açısından sakınca yoktur, fayda vardır.

Her şeyi en doğru matematikle öğretmeye çalışmak doğru bir öğretim yöntemi değildir. Başlangıç seviyelerinde sıklıkla bir matematiksel kavramı (bilerek) yanlış öğretiriz. Örneğin ilkokula başlayan bir öğrenci için ilk sayı $1$ dir. ''Negatif sayılar da vardır çocuklar, $-1,-2,-3, \dots $ bu yüzden en küçük sayı diye bir şey  yoktur'' diye konuya girmek doğru bir öğretim yaklaşımı değildir. Örnekler çoğaltılabilir ... 

4, Ağustos, 4 lokman gökçe (532 puan) tarafından  cevaplandı
...