$x,y\in [0,\infty)$ olmak üzere $$\frac{x^2+y^2}{4}\leq e^{x+y-2}$$ olduğunu gösteriniz.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
130 kez görüntülendi
$x,y\in [0,\infty)$ olmak üzere $$\frac{x^2+y^2}{4}\leq e^{x+y-2}$$ olduğunu gösteriniz.
27, Nisan, 27 Lisans Matematik kategorisinde murad.ozkoc (9,392 puan) tarafından  soruldu
30, Nisan, 30 murad.ozkoc tarafından düzenlendi

$ x=0,y=-1 $
 için eşitsizlik doğru degil hocam,

Düzenledim Anıl.

Benim çözümde, Aritmetik-Geometrik Ortalama eşitsizliğini ters yazmışım. Düzelteceğim.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Düzeltilmiş şekli:

( $\forall\ x,y\geq0$ için) $x^2+y^2\leq (x+y)^2$ olur.

Üstel fonksiyonla ilgili (türevle gösterilebilen veya üstel fonksiyonun tanımdan elde edilebilen) 

$\forall\ u\in\mathbb{R}$ için $e^u\geq1+u$ eşitsizliğini kullanacağız. 

Bu eşitsizlikten, $\forall\ u\in\mathbb{R}$ için $e^{u-1}\geq u$  elde edilir.

Bunları birleştirerek (ve $u=\frac{x+y}2$ aldığımızda  $u\geq0$ olur)

( $\forall\ x,y\geq0$ için) $\frac{x^2+y^2}4\leq \frac{(x+y)^2}4=u^2\leq(e^{u-1})^2=e^{2u-2}=e^{x+y-2}$

elde edilir.



1, Mayıs, 1 DoganDonmez (3,953 puan) tarafından  cevaplandı
3, Mayıs, 3 DoganDonmez tarafından düzenlendi

Hocam ispatta $\frac{x^2+y^2}{2}\geq \sqrt{x^2y^2}=xy$           olması gerekmez miydi?

Teşekkürler. Düzelttim.

...