Pozitif dereceli her polinomu bölen (en az bir ) indirgenemez polinomun varlığını gösteriniz.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
102 kez görüntülendi

(Herhangi bir cisim üzerine) Pozitif dereceli her polinomu bölen (en az  bir ) indirgenemez polinomun varlığını gösteriniz.

25, Nisan, 2019 Lisans Matematik kategorisinde DoganDonmez (4,419 puan) tarafından  soruldu
25, Nisan, 2019 DoganDonmez tarafından düzenlendi

Herhangi sayıda değişkenli polinomlar için, polinomlar halkasının Tek tip Çarpanlara Ayrılma Bölgesi (UFD) olduğunu kullanmadan, tümevarımla gösterilebilir.

http://matkafasi.com/87385/%24n-tamsayisi-icin-%24n%24-sayisinin-neden-bir-asal-boleni-olmali?show=87385#q87385

deki problemin (uzun çözümü) ile neredeyse aynı şekilde gösterilebiliyor.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Polinomun derecesi üzerine tümevarım ile: 

("$P(k):$ derecesi $\leq k$ olan tüm (sabit olmayan) polinomları bölen bir indirgenemez polinom vardır" önermesinini her $k\geq1$ için doğru olduğunu göstereceğiz.

  1. $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in F[x_1,x_2,\ldots,x_n]$ derecesi 1 olan bir polinom olsun. Bir polinomun derecesi doğal sayı olduğundan $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=g(x_1,x_2,\ldots,x_n)h(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ olacak şekilde $g(x),h(x)\in F[x_1,x_2,\ldots,x_n]$ ve $g(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ ve $h(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ dereceleri<1 olacak şekilde iki polinom var olamaz. Öyleyse $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ indirgenemez polinomdur ve $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\mid f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ dir. $P(1)$ doğrudur.
  2. Bir $k\geq1$ doğal sayısı için, $P(k)$ doğru olsun.
    $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ derecesi $k+1$ olan bir polinom olsun. 
  • $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ indirgenemez ise, $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\mid f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ olduğu için $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ i bölen bir indirgenemez polinom vardır.
  • $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ indirgenebilir ise, $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=g(x_1,x_2,\ldots,x_n)h(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ olacak şekilde  dereceleri $1\leq\deg g\leq k$ ve $1\leq\deg h\leq k$  olacak şekilde polinomlar vardır. Kabulümüzden, $p(x_1,x_2,\ldots,x_n)\mid g(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ olacak şekilde en az bir indirgenemez $p(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ polinomu vardır. $p(x_1,x_2,\ldots,x_n)\mid f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ olduğu açıktır.
  • Tümevarım ilkesinden, iddiamızın doğruluğu gösterilmiştir.
1, Mayıs, 2019 DoganDonmez (4,419 puan) tarafından  cevaplandı
2, Mayıs, 2019 DoganDonmez tarafından düzenlendi
...