$(X,d)$ metrik uzay ve $\langle x_n\rangle,$ $X$’de dizi olmak üzere $$``\lim_{n\to\infty}d(x_n,x_{n+1})=0\Rightarrow \langle x_n\rangle, \text{ Cauchy dizisi}"$$ önermesi doğru mudur? Yanıtınızı kanıtlayınız.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
79 kez görüntülendi
$(X,d)$ metrik uzay ve $(x_n),$ $X$’de dizi olmak üzere $$``\lim_{n\to\infty}d(x_n,x_{n+1})=0\Rightarrow (x_n), \text{Cauchy dizisi}"$$ önermesi doğru mudur? Yanıtınızı kanıtlayınız.
26, Mart, 26 Lisans Matematik kategorisinde murad.ozkoc (9,635 puan) tarafından  soruldu
27, Mart, 27 murad.ozkoc tarafından düzenlendi

İpucu: Harmonik seriyi düşününüz.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Genel terimi $$x_n=\ln n$$ olan $$\langle x_n\rangle$$ gerçel sayı dizisi için $$\lim_{n\to\infty}d(x_{n+1},x_n)=\lim_{n\to\infty}|\ln(n+1)-\ln n|=\lim_{n\to\infty}\left|\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)\right|$$$$=$$$$\lim_{n\to\infty}\left[\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)\right]=\ln\left[\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)\right]=\ln 1=0$$ olmasına karşın $$\langle x_n\rangle$$ dizisi -sınırlı olmadığından- Cauchy dizisi değildir.
26, Mart, 26 murad.ozkoc (9,635 puan) tarafından  cevaplandı
27, Mart, 27 murad.ozkoc tarafından düzenlendi
...