Question

$x\in\mathbb{R}$ olmak üzere $$x^2\geq 0$$ olduğunu gösteriniz. 

Answer 1

$x\in\mathbb{R}$ ve $\mathbb{R}$ cisim olduğunu hatırlayalım          Varsayalım ki $x\neq0$ ve $x^2<0$ olsun.                $x^2<0\Rightarrow$ $x.x<0\Rightarrow$ $x^{-1}.(x.x).x^{-1}<x^{-1}.0.x^{-1}\Rightarrow$ $(x^{-1}.x).(x.x^{-1})<0\Rightarrow$ $1.1<0\Rightarrow$ $1<0$ çelişki elde edilir

Comments

Eşitsizliğin her iki tarafını da $x^{-1}.x^{-1}$ ile çarpmışsın. Bu durumda eşitsizlğin yön değiştirmeyeceğini nasıl garanti ediyorsun?

Answer 2

$x\in\mathbb{R}\overset{\text{Neden?}}\Rightarrow (0\leq x\vee x\leq 0)$

 

I. Durum: $0\leq x$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} 0\leq x \overset{\text{Neden?}}{\Rightarrow} 0\cdot x\leq x\cdot x \overset{\text{Neden?}} {=}x^2 \\ \\ 0\cdot x\overset{\text{Neden?}}{=}0 \end{array}\right\}\Rightarrow 0\leq x^2.$

 

II. Durum: $x\leq 0$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} x\leq 0 \overset{\text{Neden?}}{\Rightarrow} 0 \overset{\text{Neden?}}{=}-0\leq -x \\ \\ \text{I. Durum} \end{array}\right\}\Rightarrow$

 

$\begin{array}{rcl} \Rightarrow 0\leq (-x)^2 & \overset{\text{Neden?}}{=} & (-x)\cdot (-x) \\ \\ & \overset{\text{Neden?}}{=} & (-1)\cdot x\cdot (-1)\cdot x \\ \\ & \overset{\text{Neden?}}{=} & (-1)\cdot (-1)\cdot x\cdot x \\ \\ & \overset{\text{Neden?}}{=} & -(-1)\cdot x\cdot x \\ \\ & \overset{\text{Neden?}}{=} & 1\cdot x\cdot x \\ \\ & \overset{\text{Neden?}}{=} & x\cdot x \\ \\ & \overset{\text{Neden?}}{=} & x^2.\end{array}$

Comments

Burada  gösterilmişti.