$f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}$ fonksiyonu sürekli ise $f$ fonksiyonunun sabit fonksiyon olduğunu gösteriniz.

2 beğenilme 0 beğenilmeme
96 kez görüntülendi

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}$ fonksiyonu sürekli ise $f$ fonksiyonunun sabit fonksiyon olduğunu gösteriniz.

27, Şubat, 27 Lisans Matematik kategorisinde murad.ozkoc (9,247 puan) tarafından  soruldu
27, Şubat, 27 DoganDonmez tarafından düzenlendi

Topoloji alışılmış topoloji mi alınıyor? 

Evet. Özel olarak bir topoloji belirtilmedikçe alışılmış topoloji alıyoruz.

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
$a$  bir reel sayı,  $\delta\gt 0$  olsun. $\epsilon$  sayisi  $0\lt \epsilon\le1$ olacak biçimde alalim. $f$ sürekli olduğundan  bir $x$   reel sayısı için $|x-a|\lt\delta$  iken  $|f(x)-f(a)|\lt\epsilon$ olmalidir. $f(x)$  ve  $f(a)$  farklı tamsayilari arasindaki fark $1$  den küçük olamayacağından yukardaki eşitsizliğin sağlanması için $f(x)=f(a)$ olmak zorundadir. Öyleyse $f$ fonksiyonu sabittir. İlgili soru
3, Mart, 3 alpercay (1,499 puan) tarafından  cevaplandı
3, Mart, 3 alpercay tarafından düzenlendi
0 beğenilme 0 beğenilmeme
Başka bir yanıt:

Bağlantılılık, süreklilik altında korunur. $\mathbb{R}$ bağlantılı ve $f$ fonksiyonu sürekli olduğundan $$f[\mathbb{R}]:=\{f(x)|x\in\mathbb{R}\}\subseteq\mathbb{Z}$$ görüntü kümesi de bağlantılıdır. $\mathbb{Z}$'nin bağlantılı altkümeleri, boşküme ve tek elemanlı kümeler olduğundan $c\in\mathbb{Z}$ olmak üzere $$f[\mathbb{R}]=\emptyset \ \ \text{veya} \ \  f[\mathbb{R}]=\{c\}$$ olmalıdır. $\mathbb{R}\neq\emptyset$ ve $f$ fonksiyon olduğundan $$f[\mathbb{R}]=\emptyset$$ olamaz. Dolayısıyla 
$$f[\mathbb{R}]=\{c\}$$ olmalıdır. Yani her $x\in\mathbb{R}$ için  $$f(x)=c$$ yani $f$ fonksiyonu sabit olmalıdır.
6, Mart, 6 murad.ozkoc (9,247 puan) tarafından  cevaplandı
...