Alt kümeye ait bilgilerin sorgulanması

1 beğenilme 0 beğenilmeme
154 kez görüntülendi

$A,B$ boş olmayan iki küme olsun. Eğer $A$ kümesinin her elemanı $B$ kümesinin elemanı ise $A$ kümesine $B$ nin alt kümesi denir ve $A\subseteq B$ olarak yazılır. $B$ kümesine de $A$ nın üst kümesi denir. Bu tanımı daha matematiksel bir ifade ile  $\forall x\in A\Rightarrow x\in B$  ise $A\subseteq B$ dir, şeklinde de yapıyoruz. Bu tanıma göre $A\subseteq A$ ve  yine $B\subseteq B$  olduğu açıktır. buralarda bir sorun yok. 

Ama $A=\emptyset$ ve $B\neq \emptyset$ ise bir çok kaynak(boş küme her kümenin alt kümesidir yargısı ile)  $A=\emptyset \subset B$ 'i yazıyor. Bunu yukarıdaki tanımlara göre nasıl açıklıyoruz acaba? 

-$\emptyset$ de olan her eleman $B$ dedir diyebiliriz ama $\emptyset$'nin eleman yok ki $B$ 'de olsun. O zaman bu ifade doğru değildir. Ama $B$ nin  $2^{s(B)}$ adet olan alt kümelerinden birisi olarak mutlaka (nedense?)  $\emptyset$ 'yi alıyoruz? Buna dayanarak da boş kümenin her kümenin alt kümesi olduğunu söylüyoruz. Bunun sebebi nedir? $n$ elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısı niçin $2^n$ dir.  Niçin $\emptyset\subseteq \emptyset$ dir? Açıklaması nasıldır acaba? İlgilenen arkadaşlara çok teşekkürler.

15, Şubat, 15 Serbest kategorisinde Mehmet Toktaş (18,763 puan) tarafından  soruldu
19, Şubat, 19 alpercay tarafından düzenlendi

Mehmet hocam \phi $\phi$ yerine  \emptyset $\emptyset$ kullansak daha iyi olur..


Uyarınız için teşekkür ederim. Düzelttim .

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Önce birkaç tanım vererek başlayalım:

Tanım 1. Doğru ya da yanlış bir hüküm (yargı) bildiren ifadelere önerme diyoruz ve önermeleri genellikle $p,q,r,\ldots$ vs. gibi sembollerle gösteriyoruz.

Tanım 2. İçinde en az bir değişken bulunan ve değişkenin yerine gelebilecek nesnelere göre doğru ya da yanlış olan ifadelere de açık önerme diyoruz ve açık önermeleri genellikle tek değişkenli ise $p(x),\ q(x),\ r(x), \ldots;$ iki değişkenli ise $p(x,y),\ q(x,y),\ r(x,y), \ldots;$ $\ldots;$ $n$ değişkenli ise $p(x_1,x_2,\ldots,x_n),\ q(x_1,x_2,\ldots,x_n),\ r(x_1,x_2,\ldots,x_n),\ldots$ vs. gibi sembollerle gösteriyoruz. 

Örneğin $$p(x):``x^2-1=0"$$

ve $$q(x):``x, \text{Türkiye'de akarsu}"$$ ifadeleri birer tek değişkenli;

$$p(x,y):``x+y=0"$$

ve $$q(x,y):``x\cdot y=0"$$ ifadeleri ise birer iki değişkenli açık önermelerdir.

Açık önermelerdeki değişkenlerin önüne niceleyiciler getirerek önermeler elde edebiliriz. Şöyleki $$\forall x(x^2-1=0)$$ ve $$\exists x(x^2-1=0)$$ifadesi bir önermedir. Bu ifadelerin (önermelerin) doğru ya da yanlış olduğunu söyleyebiliyoruz. Altküme (terimleştiği için birleşik yazıyorum) tanımını -bu açıklamalar muvacehesinde- şöyle yapıyoruz:

$A$ ve $B$ herhangi iki küme olsun ve $$p(x):``x\in A\to x\in B"$$ tek değişkenli açık önermesini ele alalım. Bu açık önermedeki $x$ değişkeninin önüne evrensel (tümel) niceleyiciyi getirerek bir önerme elde ederiz. $$\forall x(x\in A\to x\in B).$$

İşte bu önerme doğruysa $A$ kümesi $B$ kümesinin bir altkümesi veya $B$ kümesi $A$ kümesinin bir üstkümesi deriz. Matematiksel olarak bunu $$A\subseteq B$$ şeklinde gösteririz. Yani $$A\subseteq B:\Leftrightarrow \forall x(x\in A\to x\in B).$$

Bazı yazarlar $``\subseteq"$ ile $``\subset"$ sembolünü aynı anlamda kullanıyor. Bazı yazarlar ise $``\subset"$ sembolünü özaltküme anlamında kullanmayı yani $$A\subset B:\Leftrightarrow (A\subseteq B\wedge A\neq B)$$ anlamında kullanmayı tercih ediyor. Bu bir tercih meselesi. Baştan bir anlaşma yapıldığı zaman bir karmaşa olmayacaktır. Bazı yazarlarda $``\subset"$ sembolü yerine $``\subsetneqq"$ sembolünü kullanmayı tercih ediyor. Az önce de ifade ettiğim gibi bu bir tercih meselesi. Bir karmaşıklığa yol açmadığı sürece isteyen istediğini tercih edebilir. 

Şimdi gelelim boş kümenin her kümenin altkümesi olduğu bilgisine. $A$ herhangi bir küme olsun.

$$\emptyset\subseteq A$$ olduğunu göstermek istiyoruz.  $$\emptyset\subseteq A$$ olduğunu gösterebilmemiz için -az önce yukarıda verdiğimiz tanıma göre- $$\forall x(x\in\emptyset \to x\in A)$$ önermesinin doğru olduğunu göstermemiz gerekiyor. Hipotezi yanlış olan her koşullu önerme doğru olduğundan 

$$\forall x(\underset{0}{\underbrace{x\in\emptyset}} \to \underset{p}{\underbrace{x\in A}})\equiv 1$$ olur yani $$\forall x(x\in\emptyset \to x\in A)$$ önermesi doğru olur. O halde altküme tanımı gereğince boşküme, $A$ kümesinin bir altkümesidir. $A$ kümesi keyfi olduğundan boşküme her kümenin bir altkümesidir. Buradan direk olarak $$\emptyset\subseteq \emptyset$$ olduğunu söyleyebiliriz veya şöyle de yapabiliriz: $$\forall x(x\in \emptyset\to x\in\emptyset)$$ önermesinin doğru olduğunu görmek zor olmasa gerek.

Son olarak $``n$ elemanlı bir kümenin bütün altkümelerinin sayısı neden $2^n"$ tanedir" sorusu için bir açıklama ekleyelim. 

$n$ elemanlı bir kümenin $0$ elemanlı altküme sayısı $\dbinom n0$;

$n$ elemanlı bir kümenin $1$ elemanlı altküme sayısı $\dbinom n1$;

$$\hspace{1.5cm}\vdots$$

$n$ elemanlı bir kümenin $n$ elemanlı altküme sayısı $\dbinom nn$ tanedir. O halde $n$ elemanlı bir kümenin altkümelerinin sayısı $$\dbinom n0+\dbinom n1+\ldots+\dbinom nn$$ tanedir ve bu $$2^n$$ sayısına eşittir. (Neden? Nedeni sitede mevcut.)

15, Şubat, 15 murad.ozkoc (9,392 puan) tarafından  cevaplandı

teşekkürler hocam

Alt küme sayısı Kanıt

Merhaba Murad hocam. Öncelikle emeğinize ve katkınıza çok teşekkür ederim.Uzun ve kapsamlı bir açıklama yapmışsınız. Dikkatle okudum. Ama benin asıl sormak istediğim şey tam olarak;boş kümenin neden boş olmayan her kümenin alt kümesi olduğu idi.  Siz bunu "hipotezi yanlış olan her koşullu önerme doğrudur" a ($0\Rightarrow 1\equiv1$)  dayandırmışsınız. Ama bunun doğruluğunda/kanıtın da sıkıntı var. 

Kaynaklarda konuya ilişkin açıklama ya yok ya da yeterli değil. Benim verdiğim alt küme tanımları çok yaygın olarak kullanılan tanımlardır. Örneğin burada da  böyle veriliyor. Ben alt küme sayısını hesaplama formülünün nasıl elde edildiğini biliyorum. Sağ olun siz de  bunu anlatmışsınız. Ama sorun asıl olarak; boş küme neden her kümenin (kendi kendinin de ) alt kümesi? Bilinen alt küme tanımları çerçevesinde buna doyurucu, ikna edici  bir cevap arıyorum. Eğer boş kümenin her kümenin alt kümesi olduğunu kanıtlarsanız zaten o zaman $\binom{n}{0}$ sayısı $n$ elemanlı bir kümenin alt kümeleri sayısı içinde yer alır.

İlk paragrafın son iki cümlesinde "Siz bunu "hipotezi yanlış olan her koşullu önerme doğrudur" a ($0\Rightarrow 1\equiv)  dayandırmışsınız. Ama bunun doğruluğunda/kanıtın da sıkıntı var." demişsiniz. Buradaki sıkıntı nerede?

buradaki  ve burdaki yorumlara bakabilirsiniz. 

Sormak istediğim sorunun özü,sanıyorum  $0\Rightarrow 1\equiv 1$ ve $ 0\Rightarrow 0 \equiv 1 $ denkliklerinin( ki siz bunları varsayım olarak nitelemişsiniz) neden doğru olduklarıdır? Varsayımların her zaman doğru olduklarını söyleyebilir miyiz?

Şöyle ifade edeyim. Mesela siz bir sözlük hazırlayacaksınız. Bu sözlükte bulunan her bir kelimenin anlamını doğal olarak başka kelimelerle açıklayacaksınız. Örneğin 

$$``\text{Çember, düzlemde sabit bir noktaya eşit uzalıkta bulunan noktaların geometrik yeridir}"$$ yazdığınızda çemberi tanımlamak için kullandığınız kelimeleri de başka kelimelerle tanımlayacaksınız. Bu kelimeleri tanımlarken de başka kelimeler kullanacaksınız. Bunu böyle devam ettirdiğinizde mutlaka bir başlangıç noktanız olması gerektiği sonucuna ulaşırsınız. Burada da bazı varsayımlarda bulunuruz. Tıpkı burada olduğu gibi. 

Örneğin Analiz yapacaksanız bu linkteki gibi bazı varsayımlarda bulunursunuz.

Lisede Mantık ve Kümeler konusundan bahsedilirken bu iki konu hep birbirinden bağımsız konularmış gibi ele alınır. Oysa kümeler bahsindeki birçok sonuç mantıkdaki varsayımlara dayanır. Birkaç tane örnek vereyim:

Örneklere geçmeden önce şu tanımları da tekrar yazayım.

$A$ ve $B$ herhangi iki küme olsun.

$$A\cap B:=\{x|x\in A\wedge x\in B\}$$

$$A\cup B:=\{x|x\in A\vee x\in B\}$$

$$A\subseteq B:\Leftrightarrow \forall x(x\in A\to x\in B)$$

$$A=B:\Leftrightarrow \forall x(x\in A\leftrightarrow x\in B)$$


$$A\cap A=A$$ olduğunu kanıtlamak için önce bu ifadenin mantıksal karşılığını yazarız. Sonrada elde ettiğimiz bileşik önermenin totoloji olduğunu gösteririz. Burada $$x\in A\equiv p$$ dersek $$A\cap A=A$$ ifadesinin mantıksal karşılığı $$(p\wedge p)\leftrightarrow p$$ olur. Bunun totoloji olduğunu ise mantıkdaki varsayımlara dayandırarak söyleriz. Benzer şekilde 

$$A\cap \emptyset =\emptyset$$ olduğunu göstermek için $$x\in A\equiv p$$ ve $$x\in \emptyset\equiv 0$$ deyip $$(p\wedge 0)\leftrightarrow 0$$ bileşik önermesinin totoloji olduğunu gösteririz. Ve yine bunu mantıkdaki varsayımlara dayandırarak söyleriz. Bu açıklamalar sanırım yeterli olmuştur.

@murad.ozkoc Bu açıklamalar benim için yeterli olmadı maalesef. Neden varsayımlar yapmamız gerektiğini anladım bu yorumdan ben. Ama neden bu varsayımları yaptığımızı anlamadım. Biraz şurada Lokman Gökçe ile yaptığımız sohbete benziyor bu sohbet de. Evet bir varsayım yapıyoruz ama bu varsayımı neden yapıyoruz? Bunun bir sebebi olmalı. "Dur bir de böyle deneyelim" diye aksiyom sistemi koymuyoruz, sanıyorum?

@Mehmet Toktaş verdiğiniz linkler için teşekkür ederim. Zira emek vererek yazmış olduğum bir cevaba ulaştım. Daha önce kaybetmiştim, zira Anıl arkadaş soruyu gizlemiş.


Murad hoca sanıyorum varsayımları aksiyom gibi düşünüyor. Doğruluğu tartışmasız kabul edilen en temel bilgiler gibi. 

Özgür hocam sizin soruya ilişkin düşünceleriniz ,yaklaşımlarınız neler acaba?

Özgür'ün yazdıklarından sonra asıl sorunun farklı olduğunu anlıyorum. Bunun için de Prof. Dr. Ali Nesin hocanın Önermeler Mantığı kitabına bakılabilir.

Şöyle bir açıklamada yapabiliriz:

$A$ herhangi bir küme olmak üzere $$\emptyset\subseteq A$$ olduğunu göstermek istiyoruz. Varsayalım ki $$\emptyset\nsubseteq A$$ olsun. Bu durumda $A$ kümesinde olmayan fakat boşkümede olan en az bir eleman vardır. Bu ise boşkümenin hiçbir elemanının olmaması ile çelişir. O halde  $\emptyset\subseteq A$ 'dır.

Murad hocam,bu son ispatta kullanılan akıl yürütmeyi  $\emptyset \subseteq \emptyset $ nin ispatı için de yapabilir misiniz? 

 

Şöyle diyebiliriz:

$$\emptyset\subseteq \emptyset$$ olduğunu göstermek istiyoruz. Varsayalım ki $$\emptyset\nsubseteq \emptyset$$ olsun. Bu durumda $\emptyset$ kümesinde olmayan fakat boşkümede olan en az bir eleman vardır. Bu ise boşkümenin hiçbir elemanının olmaması ile çelişir. O halde  $\emptyset\subseteq \emptyset$ 'dır.

...