$S\subseteq\mathbb{R}^3$ çember olmak üzere $\mathbb{R}^3\setminus S$ kümesinin bağlantılı olduğunu gösteriniz.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
55 kez görüntülendi

$S\subseteq\mathbb{R}^3$ çember olmak üzere $\mathbb{R}^3\setminus S$ kümesinin bağlantılı olduğunu gösteriniz.

bir cevap ile ilgili: Homeomorfizmaya Dair-VII
14, Ocak, 14 Lisans Matematik kategorisinde murad.ozkoc (9,288 puan) tarafından  soruldu

Yol bağlantılı olduğunu göstermek (uzayda çizgiler düşünerek) kolay.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

$P,Q\in\mathbb{R}^3\setminus S$ olsun. Aşağıdaki 6 durumdan (sadece) biri sağlanır:

  1. $P,Q$ çemberin düzleminde, ikisi de çemberin içindedir.
  2. $P,Q$ çemberin düzleminde, ikisi de çemberin dışındadır.
  3. $P,Q$ çemberin düzleminde, biri çemberin içinde diğeri dışındadır.
  4. $P,Q$ çemberin düzleminin dışında, ikisi de bu düzlemin aynı tarafındadır.
  5. $P,Q$ çemberin düzleminin dışında, ikisi bu düzlemin farklı tarafındadır.
  6. $P,Q$ dan biri çemberin düzleminde diğeri düzlemin dışındadır.

  Bu durumların her birinde, $P$ ile $Q$ noktalarını birleştiren (ve en çok 2 parçadan oluşan) bir kırık çizgi kolayca oluşturulur.

 Aynı adımlar ile, $S$ bir düzlemde kalanbasit kapalı bir eğri ise de (Jordan ın Eğri Teoremini kullanarak) $P,Q\in\mathbb{R}^3\setminus S$ in yol bağlantılı olduğu gösterilmiş olur. 
Ama $S$ basit kapalı ama bir düzlemde kalmıyor ise iddia yine doğru oluyor ama ispatı bu kadar kolay değil.
2, Şubat, 2 DoganDonmez (3,892 puan) tarafından  cevaplandı

Tekrara düşününce, 1,2 ve 3. durumları ayırmaya da gerek yok 

O durumlarda, düzlemin dışında bir $R$ noktası alıp $P$ ve $Q$ notalarını $R$ ile (düz bir çizgi ile) birleştirmek yeterli olur.

...