$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \varphi(k)$ toplamı neye eşittir ?

1 beğenilme 0 beğenilmeme
108 kez görüntülendi
$\varphi$, Euler'in $\varphi$ fonksiyonunu göstermek 
üzere
$\displaystyle\sum_{k=1}^n \varphi(k)$ kaça eşittir ?
Sorunun cevabı : $\dfrac{1}{2}\displaystyle{\left(1+\sum_{k=1}^{n}\mu(k)\left\lfloor \frac{n}{k}\right\rfloor^2 \right)}$
Acaba bunu nasıl ispatlarız ? $\displaystyle\sum_{k=1}^n \varphi(k)$ toplamında ki toplanan sayıları $n$'yi bölenler ve bölmeyenler($k$ sayısı için) diye 2'ye ayırsak ardından 
$\displaystyle{\sum_{k/n}^n \varphi(k)}=n$ formülünü kullanarak bir şey elde etmeye çalıştım ama olmadı. Çünkü $n$'yi bölmeyen sayıların $\varphi$ fonksiyonu altındaki toplamlarını bulmak için yol yok gibi.

Eşitliği ispatlamak için izleyebileceğim bir yol var mı? Cevaplarınız için şimdiden teşekkürler.
28, Aralık, 2018 Lisans Matematik kategorisinde emresafa (138 puan) tarafından  soruldu
31, Aralık, 2018 alpercay tarafından yeniden etikenlendirildi

Cevap olarak verdiğin tam sayı değil? 

1/2 toplanın yanında olmalı.

Mü'nün kare içerenleri sıfırladığını kullandın mı? 

evet hocam kullandım. birkaç tane n değeri için de formül sağlıyordu. siz tamsayı olmadığı nasıl buldunuz ?

Bi formüle baştan baksana. 1/2 parantez dışında değil, toplanın yanında olmalı.


Şu soruyu soralım:

1 sayısı 1den n'ye kadar kaç tane sayı ile arasında asal

2 sayısı 1den n'ye kadar kaç tane sayı ile arasında asal

3 sayısı 1den n'ye kadar kaç tane sayı ile arasında asal

... 


Daha sonra bu sayıları toplayalım.

hocam bu sayıları neden topluyoruz  $\varphi$ fonksiyonu için 

1'den 1'e kadar 1 ile aralarında asal sayıların sayısı

1'den 2'ye kadar 2 ile aralarında asal sayıların sayısı

.....

1'den n'e kadar n ile aralarında asal sayıların sayısı bulmak gerekmezmiydi ?

$$\begin{matrix}\boxed{1}& 1 & 1 & 1 \\ \boxed{1}  & 2 &1 & 2 \\ \boxed{1}& \boxed{1} & 3 & 1 \\ \boxed{1} & 2 & \boxed{1}& 4\end{matrix}$$

Satir ve sutunlara gore ebob aldim. Bizden karelerin sayisi isteniyor.  Olusan sekil simetrik oldugundan bunu kare olarak dusunup bastaki $1$i once disa alip sonra ikiye bolup tekrar toplariz. Bu da formule oturuyor.

Yapmamiz gereken tum $1$leri saymak.

$4^2-4$ yaptık simetriği kendisi olanları attık şimdi $\dfrac{12}{2}=6$ oldu. Bu 6'dan da  $\displaystyle\sum_{k=2}^4 k-1-\varphi(k)$' yı çıkarırsak sonuç çıkar.
Genel halde şu mu olur o zaman ?
$\displaystyle\sum_{k=1}^n \varphi(k)=\dfrac{n^2-n}{2}+1-\displaystyle\sum_{k=2}^n (k-\varphi(k)-1)$

evet böyle yazabiliyormuşuz. denklemi düzenleyince şaşırtıcı şekilde $1=1$ denklemi kaldı.

Eboblarinda $2$ carpani barindiranlarin sayisi satirlarda $\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor$ sutunlarda  $\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor$. Yani toplamda $$-\mu(2)\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor^2$$ kadar.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$n=9$ icin bir ornek verelim. Bu kutuyu satir ve sutunun eboblari ile olusturduk. Burada yapmamiz gereken kutu icerisindeki $1$leri saymak. $$\begin{matrix}\boxed{1}& 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 &1 &1\\ \boxed{1}  & 2 &1 & 2 &1 &2 &1 &2 &1\\ \boxed{1}& \boxed{1} & 3 & 1 &1 &3 &1 & 1 &3\\ \boxed{1} & 2 & \boxed{1}& 4 &1 & 2 &1 &8 & 1 \\ \boxed{1} & \boxed{1} & \boxed{1}& \boxed{1} &5 &1&  1 & 1 & 1  \\\boxed{1}& 2& 3 &2 &\boxed{1} & 6 & 1 & 2& 3  \\ \boxed{1} &\boxed{1} &\boxed{1} &\boxed{1} &\boxed{1}  &7 &1&1 &1  \\ \boxed{1} & 2 & \boxed{1} & 4 &\boxed{1} & 2 &\boxed{1} & 8 & 1 \\ \boxed{1} &\boxed{1} & 3 &\boxed{1} &\boxed{1} & 3 &\boxed{1} &\boxed{1} & 9 \end{matrix}$$


Genel olarak eboblarinda asal carpan olanlari sayacagiz. Bir $p$ asali icin bu tarz bir karede toplamda eboblarinda $p$ asali barindiran $$\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor \cdot \left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor^2=-\mu(p)\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor^2$$ kadar girdi vardir.

Icleme dislama prensibi geregi (kume kesisimlerini de baza alirsak ve kare olanlarin $\mu$ goruntusu sifir oldugundan) $1$ olmayanlarin sayisi $$-\sum_{k=2}^n\mu(k)\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor^2$$ degerine esit olur.

Dolayisiyla kutudaki $1$lerin sayisi $$\frac{1}{2}\left( n^2--\sum_{k=2}^n\mu(k)\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor^2+1\right)$$ olur. $n^2$ toplamda $k=1$ yerini alabileceginden istenen deger $$\frac12\left(1+\sum_{k=1}^n\mu(k)\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor^2\right)$$ olur.

30, Ocak, 30 Sercan (23,917 puan) tarafından  cevaplandı
3, Şubat, 3 emresafa tarafından seçilmiş
...