Paydası, çift ve tek olan faktöriyel serilerinin limiti

0 beğenilme 0 beğenilmeme
97 kez görüntülendi

$\sum ^{\infty }_{n=0}\left( \dfrac {1}{\left( 2n+1\right) !}\right) =e-2+\cos(1)-$ $\dfrac{1}{4!}$

$\sum ^{\infty }_{n=0}\left( \dfrac {1}{\left( 2n\right) !}\right) =2-\cos(1)+$ $\dfrac{1}{4!}$

Yakında kanıtlarını paylaşacağım..

2, Aralık, 2 Lisans Matematik kategorisinde Arda Kılıç (57 puan) tarafından  soruldu
2, Aralık, 2 Arda Kılıç tarafından yeniden kategorilendirildi
Kategori lisans olmalı.

Değiştiriyorum hocam

Bunların doğruluğuna emin misin Arda Kılıç? cos yerine cosh olmasın? (öyle olunca da doğru görünmedi bana)

%3 hata payını göz önüne almazsak doğru hocam, nümerik analiz kullandım biraz hata payı için yarın nasıl kanıtladığımı paylaşacağım.

Bunları tam olarak hesaplamak mümkün (ve kolay). O daha iyi olmaz mı? 

$\dfrac{1}{(2n)!}$ serisini hesaplamak için  $e^x$  seri açılımında  $x=\mp1$  yazmak yeterli oluyor.

Sadece farklı bir yaklaşım denedim

Yaklaşımınızı paylaşır mısınız?

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
$\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {1}{\left( 2n+1\right) !}=\dfrac {1}{1!}+\dfrac {1}{3!}+\ldots$ serisini hesaplamak için ilk önce aklıma "$e^x$"in seri açılımını kullanmak geldi uygulayınca;
$\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {1}{\left( 2n+1\right) !}-e=-1-\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{4!}-...$ şimdi ise buradaki -son yazdığım- seri ile ilgili $cos(x)$ açılımı gördüm. $\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {1}{\left( 2n+1\right) !}-e=-1+\cos \left( 1\right) -1+( \dfrac {1}{4!}+\dfrac {1}{8!}+\ldots)$ ardından parantez içindeki öbeği ayrı incelemek için ona $-I(x)$ dedim.
 $-I(x) = ( \dfrac {x}{4!}+\dfrac {x}{8!}+\ldots)$ eğer "$-I(x)$"i $4!$ ile çarparsak şu şekle dönüşür; $-4!I(x) = ( x+\dfrac {4!x}{8!}+\ldots)$ olur şimdi $x=1$ yazalım  $4!I(1) = ( 1+\dfrac {4!}{8!}+\ldots)$ ve sona yaklaşırken bu fonksiyonda limit alırsak "sezgisel" olarak 1'den sonrasının 0'a yaklaşacağını görebiliriz.$-4!I(x)=1$ son hali olarak kalan durum böyle olur ve doğrudan $I(x)=-\dfrac{1}{4!}$'dir. Eğer en başa dönersek $\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {1}{\left( 2n+1\right) !}-e=-2+\cos \left( 1\right)-\dfrac{1}{4!}$ düzenlersek; $\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {1}{\left( 2n+1\right) !}=e-2+\cos \left( 1\right)-\dfrac{1}{4!}$ olarak buunur
4, Aralık, 4 Arda Kılıç (57 puan) tarafından  cevaplandı

$cosx$ seri açılımı alternedir; artı eksi diye değişerek

gider. Anladığım siz terimleri aynı işaretli almışsınız. Hiperbolik bir şeyler çıkmalı sanırım. 

Aslında $cosx$ açılımındaki "-"leri ayrı aldım "+"ları ayrı aldım yani "benzettiğim seri ile örtüşen kısım" ile örtüşen kısmı aldım ile yarayan kısmı alıp diğer kısmını ayrı hesapladım. O kısım da zaten $"(-\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{6!}-...)"$ kısmı kalan kısım ise pozitif kısım yani  $"(\dfrac{1}{4!}+\dfrac{1}{8!}+...)"$ ikisini birleştirdiğimiz zaman $cos(1)-1$ oluyor.

"sezgisel" olarak 1'den sonrasının 0'a yaklaşacağını görebiliriz.

Tam doğru değil. Terimler 0 a yaklaşıyor ama toplam değil. Toplamı pozitif bir sayı olur.

Tüm yakınsak serilerde terimler 0 a yakınsar ama toplamları 0 dan farklı olabilir.

Bir seride terimleri bir yere kadar toplarsak toplama yaklaşık bir değer buluruz ama bu yaklaşık değerde ne kadar hata olduğunu hakkında bir fikrimiz yoksa pek işe yaramaz.

Elbet, her birinize katkılarınız için teşekkür ederim; nitekim üstünde birtakım çalışmalar daha yapıp daha doğru bir seri bulunabilir öyle değil mi?

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Çözüm için  $e^x$  serisinin Maclaurin açılımını kullanalım ve  $x=1$  ve  $x=-1$  yazalım. Buna hakkımız var çünkü  yakınsaklık yarı çapı  $-\infty\lt x \lt \infty$  aralığıdır: $$e=1+1+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}+...$$  $$e^{-1}=1-1+\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}-...$$ Bu iki eşitliği taraf tarafa toplarsak $$\sum ^{\infty }_{n=0}\left( \dfrac {1}{\left( 2n\right) !}\right)=1+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{4!}+...=cosh(1)\approx 1,54$$  ve çıkartırsak $$\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {1}{\left( 2n+1\right) !}=1+\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{5!}+...=sinh(1)\approx 1,75$$  değerlerini elde ederiz.

6, Aralık, 6 alpercay (1,303 puan) tarafından  cevaplandı
6, Aralık, 6 alpercay tarafından düzenlendi
...