Her metrik uzayın bir normal uzay olduğunu gösteriniz.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
62 kez görüntülendi

Her metrik uzayın bir normal uzay olduğunu gösteriniz.

27, Kasım, 27 Lisans Matematik kategorisinde murad.ozkoc (9,032 puan) tarafından  soruldu

Her metrik uzay $T2$ ya da Hausdorff uzayı olduğundan ve Hausdorff uzayı da normal uzay olduğundan her metrik uzayın normal uzay olduğunu söyleyemez miyiz?

Her kompakt Hausdorff uzay normal uzaydır. Kanıtı burada mevcut. Dolayısıyla her Hausdorff uzayı -kompakt olmayabileceğinden- normal olmayabilir.

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Kanıt: $E,F\in\mathcal{C}(X,\tau)$  ve  $E\cap F=\emptyset$ olsun.

$\left.\begin{array}{r} (E,F\in\mathcal{C}\left( X,\tau \right))(E\cap F=\emptyset) \Rightarrow d(E,F)>0\Rightarrow \epsilon:=\frac{d(E,F)}{2}>0\\ \\ \left( \mathcal{A}_1:=\left\{ B\left(x,\epsilon\right) |x\in E\right\} \subseteq \tau _{d}\right)\left( U:=\cup \mathcal{A}_1\right) \\ \\ \left( \mathcal{A}_2:=\left\{ B\left(y,\epsilon\right) |y\in F\right\} \subseteq \tau _{d}\right)\left( V:=\cup \mathcal{A}_2\right)\end{array}\right\} \Rightarrow$


$\left.\begin{array}{c}\Rightarrow \left( U\in \mathcal{U}\left( E\right) \right) \left( V\in\mathcal{U}\left( F\right) \right) \left( U\cap V=\emptyset \right).\end{array}\right.$


Not:  $d(E,F):=\inf\left\{d(x,y)\Big{|}(x\in E)(y\in F)\right\}$

1, Aralık, 1 murad.ozkoc (9,032 puan) tarafından  cevaplandı

$U\cap V=\emptyset$ olduğunu göstermeye çalışın.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Literatürde şöyle bir kanıt daha var: 

$(X,d)$   metrik uzayının kapalı ve ayrık iki alt kümesi  $E$   ve   $F$  olsun. Göstereceğiz ki $E$  ve  $F$  yi içeren  ayrık  $U$   ve   $V$   açık alt kümeleri vardır.

$d(x,E):=\inf\left\{\tau(x,e)\Big{|}(x\in X)(e\in E)\right\}$    olmak üzere $$f(x)=d(x,E)-d(x,F)$$  ile tanımlanan  $f:X\rightarrow R$ fonksiyonunu gözönüne alalım. Bu fonksiyon sürekli olduğundan $U=f^{-1}(0,\infty) $   ve    $V=f^{-1}(-\infty,0) $  kümeleri açık ve ayrık alt kümeler olup istenilen özellikleri sağlar. Dolayısıyla $(X,d)$  metrik uzayı bir $T_4$ uzayıdır(normal uzay).

1, Aralık, 1 alpercay (1,303 puan) tarafından  cevaplandı
2, Aralık, 2 alpercay tarafından düzenlendi
...