Gerçel sayılarla ilgili bir soru

0 beğenilme 0 beğenilmeme
98 kez görüntülendi
$x,y$ gerçel sayılar olmak üzere,$2x+16y=x^2+y^2$ eşitliği sağlanıyorsa $7x+4y$  nin alabileceği en küçük değer kaçtır?                                                                                                 UMO-2018/23


Verilen eşitlikten $(x-1)^2+(y-8)^2=65$ eşitliği elde edilebilir. Bu ise bir çember belirtiyor. Ancak sorulan ifadenin en küçük değerine nasıl ulaşabilirim?
4, Kasım, 2018 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Mehmet Toktaş (18,735 puan) tarafından  soruldu

5 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Biraz daha kısa çözüm:

(Önceki çözümdeki sözleri tekrarlamayayım)

$7x+4y=c$ doğrusunun çembere teğet olması için merkezden doğruya uzaklık=yarıçap olmalıdır.

Çemberin merkezinden $7x+4y-c=0$ doğrusuna uzaklık $\frac{|7+32-c|}{\sqrt{65}}$ olduğu için eşitlik için

$|7+32-c|=65$ olmalıdır. Buradan, $c=-26$ veya $c=104$ bulunur. Küçük olanı, ($-26$) istenen değerdir.

(Burada yarıçap=$\sqrt{7^2+4^2}$ oluşu çözümü kolaylaştırıyor, rasyonel yapıyor)

4, Kasım, 2018 DoganDonmez (3,892 puan) tarafından  cevaplandı
7, Kasım, 2018 Mehmet Toktaş tarafından seçilmiş
0 beğenilme 0 beğenilmeme

$f(x,y)=7x-4y$ fonksiyonunu minimize etmek istiyoruz..

$y=8\mp\sqrt{65-(x-1)^2}$ olur.

$y=8-\sqrt{65-(x-1)^2}$ alalim.

$f(x)=7x-4(8-\sqrt{65-(x-1)^2})$ olur. Turevini alip sifira esitleyip $x$ icin cozun.


$x=-6$ cikar. Burdan $y=4$ olur. Yesil nokta $(-6,4)$ min noktasidir. Ve $7(-6)+4(4)=-26$ en kucuk deger olur..image

4, Kasım, 2018 OkkesDulgerci (1,541 puan) tarafından  cevaplandı
4, Kasım, 2018 OkkesDulgerci tarafından düzenlendi

Teşekkürler sayın @Okkes Dulgerci. Sanıyorum $f(x,y)=7x+4y$ olmalıydı.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Başka bir çözüm:

 Her $c\in\mathbb{R}$ için $7x+4y=c$ doğru denklemidir. Bu doğrulardan ikisi verilen çembere teğet olur. Bunlarda $c$ değeri küçük olan istenen sayıdır.

$(7,4)$ doğruya dik olan yöndür. Merkezden, bu yönde (ve tersi yönde) yarıçap kadar ilerlediğimizde iki değme noktasını buluruz. $\sqrt{7^2+4^2}=\sqrt{65}$=yarıçap olduğu için bu doğru ailesinden teğet olanların değme noktaları $(1\pm7,8\pm4)$ yani $(-6,4)$ ve $(8,12)$ dir. Bunlardan ilkinin en küçük $c$ değerini verdiği açıktır. $c=-26$ sayısı $7x+4y$ nin verilen çember üzerindeki en küçük değeridir.


4, Kasım, 2018 DoganDonmez (3,892 puan) tarafından  cevaplandı
4, Kasım, 2018 DoganDonmez tarafından düzenlendi
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bir çözüm daha:

Cauchy-Schwartz-Bunyakowski eşitsizliğinden (çember üzerinde)

$|7(x-1)+4(y-8)|\leq \sqrt{7^2+4^2}\sqrt{(x-1)^2+(y-8)^2}=65$ ve eşitlik sadece $\frac{x-1}7=\frac{y-8}4$ ve $(x-1)^2+(y-8)^2=65$ iken sağlanır. (bu şekilde $x,y\in\mathbb{R}$ vardır, çünki  $\frac{x-1}7=\frac{y-8}4$ çemberin merkezinden geçen bir doğrudur). 

Buradan

$-65\leq 7(x-1)+4(y-8)\leq 65$

$-26\leq 7x+4y\leq 104$ 

elde edilir. $\frac{x-1}7=\frac{y-8}4$  ve  $(x-1)^2+(y-8)^2=65$ olacak şeklide $(x,y)$ ikililerinden birinde 

$7x+4y=-26$ diğerinde $7x+4y=104$ olur.

5, Kasım, 2018 DoganDonmez (3,892 puan) tarafından  cevaplandı
1 beğenilme 0 beğenilmeme

Bir çözüm daha:

Çemberi $x=1+\sqrt{65}\cos t,\ y=8+\sqrt{65}\sin t,\ (0\leq t\leq2\pi)$ şeklinde parametrize edersek:

$\begin{align}7x+4y&=7(1+\sqrt{65}\cos t)+4(8+\sqrt{65}\sin t)=39+\sqrt{65}(7\cos t+4\sin t)\\&=39+65\left(\frac7{\sqrt{65}}\cos t+\frac4{\sqrt{65}}\sin t\right)\\&=39+65\sin(t+\alpha)\end{align}$

($\sin\alpha=\frac7{\sqrt{65}},\cos \alpha=\frac4{\sqrt{65}}$ olan  $\alpha$ değerlerinden herhangi biri için)

olur. Buradan

$-26\leq 7x+4y\leq 104$ olduğu ve her iki değere de ulaştığı görülür.


5, Kasım, 2018 DoganDonmez (3,892 puan) tarafından  cevaplandı
5, Kasım, 2018 DoganDonmez tarafından düzenlendi
Doğan hocam çok teşekkürler. Her bir yaklaşım çok hoş,çok güzel.Ellerinize , zihninize ve emeğinize sağlık.
...