Aralarında Asal Bulma için bir düşünce

0 beğenilme 0 beğenilmeme
62 kez görüntülendi

Pascal üçgeninde verilen sayıların her birinin bir ikili bileşeni olduğunu yazmıştım.Bu mantıkla orada ki sayıları kullanarak temel çarpma işlemi yapmıştım.Basit bir ispatı da vardı.Buna benzer olarak,bu ikili bileşenlerinin herhangi birini alıp,onlar arasında asallık var mı yok mu diye bakabiliriz.

Sayımız herhangi bir A sayısı olsun.Aynı zamanda bu ifade istediğimiz basamağın kendisi olacaktır.

Her A sayısı € N olarak; Ax1 ve Ay1 ana sayının bileşenleri olacak ve,

A=Ay1-Ax1

A^2=Ay1+Ax1 

Şartını sağlaması gerekecektir.Bunu şart koşma sebebi bu ikili bileşenleri kolayca yazma ve istediğimiz basamakta bulunan bileşenlerin aralarında asal olup olmadığına bakmaktır.

Bu ikilileri, Ax1=A*(A+1)/2 -A veAy1= A*(A+1)/2 olacak yani,

A=(Ax1,Ay1)=(A*(A+1)/2-A , A*(A+1)/2) olacaktır.Bu formüle uyan tüm ikililer üzerinden asallık testi yapabiliriz.Buna normal örnek olarak 11 ve 15 ikilisi verilebilir.Ama bu mantık bizim yazdığımız formüle uygun aralarında asal sayılar olmaz.Tabi ki normalde aralarında asallardır.Mesela 33 sayısını yazalım.Bu sayıyı oluşturan ikililer,(528,561) bu ikililer toplandığında 33ün karesi ve farkları alındığında 33 ün kendisini verir.Bölecek sayıları 561 sayısı 3, 11 ve 17 ye bölünebilir.528 16 ya bölersek 33 bulunur ve 2,4,8 as katlara da bölünür.Bunu yaparken 33 ün toplamını veren 16 ve 17 ye mevcut bileşenleri bölüp çıkan sonuçlar hakkında rahat yorum yapabiliriz.Mesela başka örnek 22 olsun bunu veren ikililer,(231,253) olur.22 sayısını ortalaması Yani her iki sayı için bölen olarak  11 alınsın.Bu iki sayı 1 ve kendileri hariç bölündüğü sayı 11 olarak çıkar.İstediğimiz asallık çifti bu değilmiş demektir.Tabiki bu sırada her ikili aralarında asal değil ve bunu bulmak biraz define bulmak gibi.Burada amaç asal sayıları bulmak değil.Sadece Pascal mantığına göre aralarında asal sayıları bulmak ve gözlemlemek olacaktırZaten aralarında asal olan olanlar asal sayı olmak zorunda değildir.Belki 33 ün bileşenleri dışında başka aralarında asal olan çiftler vardır.İsterseniz bir bakın.

33 numaralı basamaktaki bileşenler aralarında asaldır.Bundan sonraki basamaklarda da aralarında asal olan ikililer çıkabilir.A sayısı yani basamak sayısı olan bu ifade A>2 olarak alınırsa,Bu A sayısı öyle iki sayı alınsın ki toplandıklarında bu A sayısının karesini versin ve farkları alındığında bu sayının kendisini versin, Ax1=A*(A+1)/2 -A veAy1= A*(A+1)/2 ifadesine karşılık gelen bu sayıların kaç tanesi aralarında asaldır? Tabi bu tanım ifade ettiğim pascal çarpma algoritmasındaki bileşen formüllerine uygun olması gerekir.Bu tüm ikili bileşenlere baktığımızda  asal olan sayı yok gibi duruyor.En azından 200 basamakta bu durum böyle.Yani bu ikili bileşenler in ikisinin de asal olduğu bir bileşenler kümesi var mıdır?Normalde aralarında asal sayı az bulunuyorken(ki yukarıda bir tane ikili bulduk),Pascal üçgenindeki üçgen sayıları ikililerinde asal olan ikili bulunabilir mi?

Bunların dışında bu mantıkta sayılar oluştırduğunuzda, palindromik sayılara ulaşabilirsiniz.Yani baştan ve sondan okunuşu aynı olan sayıları görebilirsiniz.11,12,19,,35,37,110,133 ana sayı yani basamak sayısı ya da başka bir ifade ile yukarıdaki formüle bu sayıları koyduğunuzda açığa çıkan ikililer,basamak sayısı olan sayıların karesini veren ikililer bize palindromik sayıları veriyor.yani ,

A=11 olsun,

Ax1=11*(11+1)/2-11=55 yani 11.basamağının 1. bileşeni,

A=12 olsun,

Ax1=12*(12+1)/2-12=66 yani 12. basamağın 1.bileşeni

A=19 için, 19*(20)/2-19=171 yani 19. basamağın  1.bileşeni

A= 35 için Ax1=35*(36)/2-25=595  yani 35.basamağın 1.bileşeni

A=37 için Ax1=37*(38)/2-37=666 yani 37. basamağın 1.bileşeni

A=110 için Ax1=110*(110+1)/2-110=5995 yani 110. basamağın 1.bileşeni

A=133 için Ax1=133*(134)/2-133=8778 yani 133. basamağın 1.bileşeni

olacaktır.Diğer sayıları yani 25,35,37,110 ve 132 sayılarını bu şekilde yazıp palindromik sayıları görebilirsiniz ve araştırmak isterseniz devam edebilirsiniz.


2, Ekim, 2 Serbest kategorisinde Oğuzhan 85 (20 puan) tarafından  soruldu
5, Ekim, 5 Oğuzhan 85 tarafından düzenlendi

"Tabiki bu sırada her ikili aralarında asal değil ve bunu bulmak biraz define bulmak gibi"

pek doğru görünmüyor bana. Şurada ispatı ile var:

"Rasgele  iki doğal sayı aldığımızda aralarında asal olma olasılığı=$\frac{6}{\pi^2}$"

%50 den fazla bir şans.

Yalnız benim ifade ettiğim durum Pascal üçgenindeki üçgen sayılarını ilgilendiriyor.Bu mantığa göre bağımsız  iki sayıdan bahsedemeyiz .Daha önce yazdığım Pascal ile ilgili bir soru vardı.Orada öyle iki sayı seçelim ki toplandıklarında ana sayının karesini versin farkları alındığında ana sayının kendisini versin.Buna uyan tek bir ikili vardır .

...