Tam sayılarla ilgili bir soru

0 beğenilme 0 beğenilmeme
74 kez görüntülendi

$n_1,n_2,n_3,...,n_{2018}$ tam sayılar olmak üzere,

$n_1^2+n_2^2+n_3^2+...+n_{2018}^2+4036=3(n_1+n_2+n_3+...+n_{2018})$ eşitliği sağlanıyorsa, 

$n_1^2+n_2^2+n_3^2+...+n_{2018}^2$ toplamının alabileceği kaç farklı değer vardır?

                                                                                                                  (UMO-2018/7)

Ben soruyu çözdüm ve gizledim. Belki daha güzel bir çözüm gelir diye bekleyeceğim. Olmazsa bir kaç gün sonra cevabı açarım.


1, Ekim, 2018 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Mehmet Toktaş (18,763 puan) tarafından  soruldu
2, Ekim, 2018 Mehmet Toktaş tarafından düzenlendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Soruyu,

$n_1^2-3n_1+2+n_2^2-3n_2+2+n_3^2-3n_3+2+...+n_{2018}^2-3n_{2018}+2=0$

$(n_1-1)(n_1-2)+(n_2-1)(n_2-2)+...(n_{2018}-1)(n_{2018}-2)=0$  şeklinde yazdım.  Bu eşitliğin, $n_1,n_2,n_3,...n_{2018}$ tam sayılarının hepsi $1$ iken, Birisi $2$ diğerleri $1$ iken, iki tanesi $2$ diğerleri $1$ iken, böyle devam ederek hepsi $2$ iken de sıfırlanacağı açıktır. Böylece $n_1^2+n_2^2+n_3^2+...+n_{2018}^2$ toplamı $2019$ farklı değer alır diye buldum. Ama biraz uzattım sanırım. Belki çok daha güzel bir çözüm olabilir.

1, Ekim, 2018 Mehmet Toktaş (18,763 puan) tarafından  cevaplandı
7, Ekim, 2018 Mehmet Toktaş tarafından yeniden gösterildi
...