$2^{x}-1$ ve $ 2^{y}-1$ sayılarının OBEB'inin $ 2^{(x,y)}-1$ olduğunu kanıtlayınız

1 beğenilme 0 beğenilmeme
107 kez görüntülendi
$\displaystyle\left(2^{x}-1, 2^{y}-1\right) =\displaystyle2^{(x,y)}-1$ olduğunu kanıtlayınız

$2^{x}-1$ ve, $2^{y}-1$ sayılarının OBEB'i Bu sayıların farkı ve toplamınıda böler deyip gerekli işlemler yapılınca OBEB Hakkında bazı bilgiler ediniliyor ancak bu OBEB'i bulmak için yeterli değil. kanıt hakkında yardımcı olur musunuz?
10, Eylül, 10 Orta Öğretim Matematik kategorisinde qyqipeeoiiuroior (76 puan) tarafından  soruldu
11, Eylül, 11 alpercay tarafından yeniden etikenlendirildi

$2^{-x}$ ve $2^{-y}$ doğal sayılar ise $x,y<0$ olması gerekir. Bu durumda $xy>0$ olur. Dolayısıyla $-xy$ negatif bir sayı olur ama o zaman da $2^{-xy}$ doğal sayı olmaz. Acaba ben soruyu yanlış mı anlıyorum?

Sanırım böyle olacak quqipeeoiiuroior?

hayır aslında 2 üzeri x sayısının bir eksiği olacaktı, y de aynı şekilde. cevapta 2 üzeri x ve y nin OBEB'i sayısının bir eksiği.

buda yanlış oldu örnek vererek gideyim.

2 üzeri 3 - 1= 7

2 üzeri 6 - 1 = 63

2 üzeri (3,6) -1 = 7

yani 7 sayısı 7 ve 63 ün en büyük ortak bölenidir.

üsleri burdaki gibi olmalı.

1. satirda $(2^x-1,2^y-1)$ obebi anlamina mi geliyor?
$2^{(x,y)}$ burada da x ve y'nin obebi anlaminda mi?
kısa olarak böyle gösterilebiliyor. köşeli parantez de EKOK yerine kullanılıyor.

Soru için şöyle bir şey kullanabiliriz, $x=nk$ olsun $2^n-1 | 2^x-1$ diyebiliyoruz.


veya


$2^a-1\equiv 2^{a-b}-1\pmod{2^b-1}$


$\dfrac {x} {y}$=$N$
Bu oranin dogal sayi$(N)$ olmasi durumunda 1 olmayan obeb bulunabiliyor.Rasyonel sayi$(Q)$ oldugunda obeb 1 cikiyor.
$2^y-1$ ve $2^x-1$'den hangisi daha kucukse obeb onun carpanlarindan biri olacaktir.İki sayida tektir.
$2^x-1$=$(2-1)(2^{x-1}+2^{x-2}+2^{x-3}...2^{2}+2+1)$
$2^y-1$=$(2-1)(2^{y-1}+2^{y-2}+2^{x-3}...2^{2}+2+1)$

$x$=$7$ ve $y$=$4$ için $(2^x-1,2^y-1)$=$1$
$x$=$6$ ve $y$=$3$ için $(2^x-1,2^y-1)$=$t$
 
$t$=$(2^6-1)$=$(2-1)(2^5+2^4+2^3+2^2+2+1)$
$(2^3-1)$=$(2-1)(2^2+2+1)$
$(2^6-1,2^3-1)$=$ (2^5+2^4+2^3+2^2+2+1,2^2+2+1)$=$2^2+2+1$=$7$

Analizi daha ogrenemedigimden cozum yapar gibi anlatmaya calistim.

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme

daha genel halde,

                                                             $(n^a - 1,n^b - 1)=n^{(a,b)}-1$

olur. Tabii $a,b,n$ birer pozitif tamsayı. Ancak $n>1$ olsun. Şimdi $(a,b)=d$ olsun. Bu durumda $d|a$ ve $d|b$ olur.

$d|a$ ise $n^d - 1 | n^a-1$ olur. (Bunu da sen kanıtla). Aynı şekilde $n^d - 1 | n^b-1$ olur. Tanım gereği,

                                                               $n^d - 1 | (n^a - 1,n^b - 1)$

olur. Eşitliğin sağlandığını göstermek için bunu tersten de göstermeliyiz. Zira $a|b$ ve $b|a$ olursa $|a|=|b|$ olur.

Şimdi bir $m$ için $n^a \equiv n^b \equiv 1 (mod m)$ olsun. $(m,n)=1$ olduğu bariz. Ayrıca Bezout teoremine göre $au+bv=(a,b)$ olacak şekilde $u,v$ tamsayılar var.

                                                      $n^{au+bv}=n^{(a,b)} \equiv 1 (mod m)$

Demek ki $m | n^d - 1$. Sonuç olarak

                                                           $(n^a - 1,n^b - 1) | n^d - 1$

                                                           $(n^a - 1,n^b - 1)=n^{(a,b)}-1$

11, Eylül, 11 Dogukan633 (859 puan) tarafından  cevaplandı
11, Eylül, 11 Dogukan633 tarafından düzenlendi
...