Analitik Geometride köşelerinin koordinatları $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$ , $C(x_3,y_3)$ olan $ABC$ üçgensel bölgesinin alanı?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
1,239 kez görüntülendi

Analitik Geometride köşelerinin koordinatları A(x1,y1), B(x2,y2) , C(x3,y3) olan ABC üçgensel bölgesinin alanı

Alan(ABC)=1/2 |x1.y2+x2.y3+x3.y1−(y1.x2+y2.x3+y3.x1)| ile bulunur teoremini kanıtlayınız.

23, Ağustos, 2018 Orta Öğretim Matematik kategorisinde emresafa (140 puan) tarafından  soruldu
6, Eylül, 2018 Anil B.C.T. tarafından düzenlendi
Siz bu teoremi nasıl ispatlamaya calıstınız hangi yollar denediniz denemelerinizi ve açıklamalarınızı da yazarsanız daha çok yardım alabilirsiniz.

her bir kenar uzunluğunu kareköklü biçimde ifade ettikten sonra heron formülü uyguladım bi takım cebir işlemlerinden sonra sadeleşmeyecek terimler geliyor ve tıkanıyor aklıma herondan başka da bir şey gelmedi.

Pisagor matematik evi kanalinda mustafa yagcinin yaptigi bir ispatin videosu var.

4 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Şeklin çizimini size bırakıyorum. Aslında ben çizimi yapabilsem daha iyi olurdu fakat ben çizim programlarını kullanmayı bilmiyorum.

Dik koordinat düzleminin birinci bölgesinde, köşeleri $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$ olan dar açılı (dik ya da geniş açılı olsa da fark etmez) bir üçgen çizelim. $A,B,C$ noktalarından $x-$ eksenine inilen dikmelerin ayakları sırası ile $A_1,B_1,C_1$ noktaları ve $y-$eksenine inilen dikmelerin ayakları da sırası ile $A_2,B_2,C_2$ olsun. 

Eğer $Alan(ABC)=S$ denirse;

$S=Alan(AA_1C_1C)+Alan(CC_1B_1B)-Alan(AA_1B_1B)$ olacaktır. Şimdi bu alan değerlerini koordinatlar cinsinden yazalım.

$S=\frac{(y_1+y_3)(x_3-x_1)}{2}+\frac{(y_3+y_2)(x_2-x_3)}{2}-\frac{(y_1+y_2)(x_2-x_1)}{2}$

$S=\frac{y_1x_3-y_1x_1+y_3x_3-y_3x_1+y_3x_2-y_3x_3+y_2x_2-y_2x_3-y_1x_2+y_1x_1-y_2x_2+y_2x_1}{2}$

$S=\frac{y_1x_3-y_3x_1+y_3x_2-y_2x_3-y_1x_2+y_2x_1}{2}$

$S=\frac{y_1x_3+y_3x_2+y_2x_1-(y_3x_1+y_2x_3+y_1x_2)}{2}$ olur. Elbette ki alan değeri  neğatif olamayacaktır.Dolayısıyla;

$2S=|y_1x_3+y_3x_2+y_2x_1-(y_3x_1+y_2x_3+y_1x_2|$ olur.


2, Eylül, 2018 Mehmet Toktaş (18,735 puan) tarafından  cevaplandı
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Üçgenin bir köşesini orijine öteleyerek de bir alan formülü verebiliriz. Örneğin $A$ noktasını orijine ötelersek üçgenin yeni köşe noktaları $$A'=(0,0)$$,   $$B'=(x_2-x_1,y_2-y_1)=(a,b)$$   $$C'=(x_3-x_1,y_3-y_1)=(c,d)$$ olur. Bu durumda üçgenin $S$ alanı  $$S=\dfrac{1}{2}|ad-bc|$$ ile verilebilir. Aslında bu da $B'$ ve $C'$  vektörlerinin vektörel çarpımı olarak $$S=\dfrac{1}{2}\vec{B'}X\vec{C'}$$  ifade edilebilir.Açıklama ve ilgili soru

Bir köşeyi orijine taşıma bazı geometri problemlerinin çözülmesinde kolaylık sağlayabilir.

3, Eylül, 2018 alpercay (1,612 puan) tarafından  cevaplandı
3, Eylül, 2018 alpercay tarafından düzenlendi
0 beğenilme 0 beğenilmeme

$$Alan(ABC)=\dfrac{1}{2} \left| \begin{matrix} x_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{matrix} \right| $$  şeklinde ifade edersek bu formül akılda daha çok kalır. Bu determinant hesabıyla herhangi bir konveks çokgenin hatta konkav çokgenin alanı bulunabilir. Ancak konkav çokgende noktaların sırasına dikkat etmek gerekir; noktaların farklı sıralanışları farklı alanlar verebilir.

4, Eylül, 2018 alpercay (1,612 puan) tarafından  cevaplandı

Noktaları, saatin tersi yönde (yukarıdan aşağı) yazarsak determinant pozitif çıkar.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$$Alan(n-gen)=\dfrac{1}{2}( \left| \begin{matrix} x_1& x_2\\ y_1& y_2\\ \end{matrix} \right| +\left| \begin{matrix} x_2& x_3\\ y_2& y_3\\\end{matrix} \right|+...+\left| \begin{matrix} x_n& x_1\\ y_n& y_1\\ \end{matrix} \right|)$$  şeklinde bir genelleme verilebilir. Kanıtta üçgen için verilen formülü kullanmak yeterli sanırım; Sarrus açılımında bazı çarpanlar birbirini götürünce yukarıdaki eşitliğin kalması lazım. 

4, Eylül, 2018 alpercay (1,612 puan) tarafından  cevaplandı
...