2 Daire kesişmeden yan yana geçebilir mi?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
97 kez görüntülendi
image

$A$ ve $  B $ diye $2$ şehrimiz var.

Hızları ne olursa olsun: $2$ araba, $A$ şehrinden $B$ şehrine yola çıkıyorlar. Yol boyunca aralarındaki uzaklık hiçbir zaman $2l$ uzunlugundan daha fazla olmuyor. Ve bu 2 aracın seyehat ettigi yollar birbirinden bağımsızlar. Yani kesişmiyorlar.

Soru:

$A$ şehrindeki $1.$ yoldan ve $B$ şehrindeki $2.$ yoldan yola çıkan daire şekilli, yarıçapları $l$ olan 2 araç birbirine çarpmadan yolun sonuna varabilirler mi?

Edit: Yeni resim ve ek açıklama.image
Şöyle de düşünebiliriz:  1. ve 2. yolda 2 araç olsun bu araçların arasında bir ip olsun ve bu ip $2l$ den kısa olsun ve araçlar bu ipi koparmadan bu yollarda hareket edebiliyor olsun.
22, Ağustos, 22 Lisans Matematik kategorisinde Anil (7,738 puan) tarafından  soruldu
23, Ağustos, 23 Anil tarafından düzenlendi

Dusuncemde iki yolun her noktasinin birbirine esit uzaklikta olmasi gerektigi konusunu atlamisim----Bu yolu bir kurenin uzerinde cizebiliriz ve bu araclarda kurenin yuzeyine teget daireler olarak hareket eder.Eger 1 yolun kurenin merkezine gore simetrisi kendisi ile cakismadan kure uzerine koyulursa carpmadan yol sonuna gelebilirler.

iki yolun her noktası birbirine eşit uzaklıkta degil, iki yolun üstündeki 2 nokta 2l uzaklıgını aşmadan yollar üzerinde seyehat edebiliyor. Yani her nokta için degil bazı noktaların belli zamanlardaki durumu için.

Hatta şöyle düşünelim, 1 ve 2. yolda 2 araç olsun bu araçların arasında ip olsun bu ip $2l$ den kısa olsun ve araçlar bu ipi koparmadan bu yollarda hareket edebiliyor olsun.

O zaman yorumundaki kurenin yaricapi $ l $ den kisa diye eklersem cevabi bulmus olur muyum? :-) ya da cevaplardan birini. 

anladıgım kadarıyla dogru cevap degil cunkü, cemberin bir kısmı 1. yol obur kısmı 2. yol olursa ve cemberın çapı $2l$ den kısa olmalı dolayısıyla bu dairesel araçlar bu çember yoldan geçemez çünkü yarıçapları toplamı $2l$ olacak .

Eğer yanlış anlamışsam, yazdıgın cevabı biraz daha açar mısın ve belki şekiller çizmen daha açıklayıcı da olabilir.

Hocam bir cevabi var mi bu sorunun? Kolaya kacip hemen cevabi ogrenmek istedigimden degil.Baslangic noktasi ayni olmasi teget olmadan nasil olacak hicbir model olusturamiyorum kafamda.

evet güzel bir cevabı var, ama gene de ne anlatmak istedigini ben anlamadım, çizim için geogebra veya paint bile kullanabilirsin.

MAVI VE SARI OLAN ARACLARimage

Sadece kirmizi ve mor kesitli olan kure parcasinin yuzeyine yol cizilebilir bu sekilde birbirlerine degmeden hareket edebilirler.Ama ayni noktada baslama kismini hala cozemedim.

Hocam ilk soruyu yazdiginizda yollarin birbiri ile kesismedigini yazmissiniz sonrasinda eklediginiz yolda $A$ ve $B$ noktalari her iki yol icin ortak yapmissiniz.Kesisimin tanimini yanlis bilmiyorumdur umarim. :-D

şu kesitli küre dedigin şeyle ne demek istedigini anlamadım cidden, belki başka bir forum üyesi/uzmanı yardım edebilir.

1 ve 2. yolun A ve B de birleşmesi kesişme demek degil. (sanırım) zaten 2. şekili daha iyi anlatabilmek için çizmiştim. Normal olarak 1. şekil yetiyor.

Hocam cevabi aciklamanizi beklemekten baska carem yok.Kure ile yaptigim cozumun dogru oldugunu dusunuyorum ama anlatamiyorum.Resim boyutu $2mb$ tan daha buyuk oldugundan cizerekte gonderemiyorum.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Başka çözümler elbet vardır. Bu cevapta olaya faz uzayı mantıgıyla yaklaşalım. (ismi yanıltmasın)

Faz uzayımız $F=\{(x_1,x_2)| \; 0\le x_i \le 1\}$ olsun yani $1$ kenar uzunluguna sahip bir karenin içindeki her nokta. $x_1$ ve $x_2$ ise 1. ve 2. yollardaki koordinatları versin bu koordinatların değerinin $0$ ve $1$ arasında olması aşağıdaki tanımda açıklanacaktır.


Tanım 1:  Eğer $x_i$, $i$'ninci yoldaki koordinatsa bu koordinat aslında şu demektir. O yoldaki bulunan noktadan $A$ şehrine olan uzaklığın, tüm yolun uzaklıgına oranı. Yani aslında bu koordinat, o yolda $A$ dan yüzde kaç uzaklaşıldığını belirtir.

Yukarıdaki tanım ve faz uzayına göre, herhangi 2 araba için şartlar sağlandıgında bu 2 arabanın seyehat edecegi her ihtimal bu faz uzayında bir nokta belirtir (yani 1. kordinat ($x_1$), 1. yoldaki araba için 2. kordinat ($x_2$ ), 2. yoldaki araba için kordinatı belirtiyor.)

Faz uzayının diagramı:

image


Arabalar aralarındaki $2l$den kısa ipi koparmadan bu 2 yolda hareket ediyor ve faz uzayında $(0,0)$'dan başlayıp hangi yolu izlerlerse izlesinler  $(1,1)$'de bitiriyorlar seyehatlerini. Çünkü 2 arabanın da başlangıçta $A$ ya uzaklıkları $0$ ve en sonda ise $1$ oluyor.

Daire şekiller ise en başta, ikinci daire $2.$ yolda $A$ ya en uzak noktada yani $B$ de yani koordinatı $1$, $1$. daire ise $A$ da yani koordinatı $0$ Dolayısıyla bu iki dairenin faz uzayındaki başlangıç koordinatı $(0,1)$ ve bitiş noktası ise $(1,0)$

Bu yol kombinasyonlarından birtanesini gösteren diagram:

image

Sonuç

Görüldüğü üzere yollar ne olursa olsun, bu 2 eğri her ihtimalde kesişiyor. 

Bu eğrilerin kesişmesi demek, daire şekiller ve arabaların kordinatlarının kesişmesi demek ve dolayısıyla o noktada dairelerin birbirine çarpması demek çünkü arabalar her zaman birbirine $2l$'den daha yakın olmak zorundaydı.

25, Ağustos, 25 Anil (7,738 puan) tarafından  cevaplandı
...