Denklem ve kökleri yorumlama

0 beğenilme 0 beğenilmeme
75 kez görüntülendi

Ben şu olayı anlayamıyorum..


Mesela $x^2-x+1=0$ denklemi olsun.


Her iki tarafı $(x+1)$ ile çarparsak;


$(x+1).(x^2-x+1)=0.(x+1) \\ \\ \\ x^3+1=0 \\ \\ \\ x^3=-1$

olur ki bu olay mantıksız geliyor. Neticede olmayan yeni bir kök (-1) yarattık, ama ilk verilen denklemde o kök sağlamıyordu, hatta reel kökü bile yoktu. 

Her istediğimiz denklemi bir kökle çarpabilir miyiz? 


İkinci bir mantık olarak şöyle düsndum;

$x^3=-1$ denklemi içinde ilk denklemin köklerini de barındırıyor. Binevi onu içine alan üst küme. Ama bu denklemi kullanmak doğru olur mu? 


[İlk denkleme $f(x)$ dersek kökü k olursa $k^{62}-k^{61}$ değerini bulmaya çalışırken $x^3=-1$ kullanmak ne kadar doğru? Bir değer bulsak de her zaman doğru mudur? (-1 geliyor) ]

Birde bunları nasıl grafiğe dökebiliriz? Ordan yorumlamak bana daha kolay gelir ama dökemedim pek.. Wolframdan yazınca bana başka kök buluyor benim bulduğum $\frac{1+-\sqrt{3}i}{2}$ . Ayrıca bu kök $x^3=-1$ sağlamıyor galiba ben mi işlem hatası yapıyorum



Sorularım çok fazla oldu farkındayım ama aklımı kurcalıyordu gelmişken hepsini yazayım dedim:) Cevap yazan hocalarıma şimdiden teşekkür ederim

24, Temmuz, 24 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Ddraska (11 puan) tarafından  soruldu

Kokler gercel denirse kok olmadigindan boskume elde ederiz. Kokler burada karmasik sayilar. Karmasik sayilarin da aritmetigi var.

$x^3+1=0$ polinomunun karmasik sayilar icerisinde uc tane koku var. Biri $-1$ ve diger ikisi karmasik. Bu kokler $v,w$ dersek $v^3=w^3=-1$ esitligi saglanir.

Karmaşık köklerin küpleri -1'e eşittir. Ayrıca her bir karmaşık kök $x^2-x+1=0$ denklemini (dolayısıyla $x^3+1=0 denklemini) sağlar.

Şöyleki: 

$(\frac{1+\sqrt3.i}{2})^2-(\frac{1+\sqrt3.i}{2})+1=?$

$(\frac{1+2\sqrt3.i-3}{4})-(\frac{1+\sqrt3.i}{2})+1=?$

$\frac{-2+2\sqrt3.i-2-2\sqrt3.i+4}{4}=\frac{0}{4}=0=?$ olur.

@Sercan hocam teşekkür ederim ama sorularıma cevap alamadım ya :(

@MehmetToktaş hocam teşekkürler ama $x^3$ denkelminde o kök sağlamıyor sanırım

Bulduğunuz kökleri sonra orijinal denklemde sağlamalısınız. Çözüm kümesini orijinal denklemi sağlayan kökler oluşturur; sağlamayanlar oluşturmaz doğal olarak. Ali Nesin Hoca TRT okuldaki derslerinin birinde bundan bahsediyordu.

Sikinti senin ilk yazdigin denklemin domaini ile x+1 ile carptigdaki domaini ayni degil yani aslinda ilk fobksiyonla sonraki ayni degil o yuzden 2. fonksiyonun kokuyle 1.fonksiyonu bagdaştiramassin

Biraz şuna benziyor yaptığın: 3 çift sayı değil ama 2 ile çarpınca 6 elde ediyorum. Ve 6 çift sayı. Neden? Çünkü 2'ye bölünüyor. Eskiden bölünmüyordu, ama $2$ ile çarpınca bölündü. 

$2$, $x-3$ polinomunun bir kökü değil. Ama $(x-2)(x-3)$ polinomunun bir kökü. Eskiden bir kök degildi ama şimdi bir kok oldu. Neden? Çünkü elimizle kendimiz ekledik. Aynı yukarıda yaptığımız gibi.


...