Faktöriyelin artış hızı

0 beğenilme 0 beğenilmeme
80 kez görüntülendi
$x!$ , $x^2$ , $e^x$ ve $x^x$ grafiklerine bakarsak en hızlı 2.artan grafik faktöriyeldir. Ama merak ettiğim bunun artış hızını hesaplamak için bir yol var mı? Logaritmik değil, doğrusal da değil ve [1,2] aralığında uç noktalarda x=f(x) olmasına rağmen aradaki hiçbir değer birbiriyle tutmuyor.
Ve neden lokal minimum noktasındaki değeri çok yaklaşık olarak $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
16, Temmuz, 16 Orta Öğretim Matematik kategorisinde RİYAZİYE (24 puan) tarafından  soruldu

Faktöriyel fonksiyonunu $[1,2]$ aralığına, daha genel olarak pozitif reel sayılara, hangi kural ile genişletiyorsun?

Neden öyle dedim çünkü $x!$in pozitif reel sayılarda $x$'e eşit olduğu 2 nokta var; 1,2.

x değerleri 1den 2ye doğrusal yolla artarken, f(x) değerleri de 1den 2ye gidiyor ancak doğrusal değil, yani 2side farklı ivme (ivme desem yanılmış olmam değil mi?) ile aynı yere aynı zamanda gidebiliyorlar.

Aslında yukarıdaki soru belki çok karışık, belki ben anlatamamış olabilirim cevaplamayabilirsiniz. Ancak neden faktöriyelin yerel minimum noktası yaklaşık olarak 0.46 ?

Ben sorumu tam anlatamadım galiba. Mesela "1,4!' ne demek? Ya da "0.46!"? 

Ben gama fonksiyonu dememiştim ancak faktöriyel, gama fonksiyonu olarak çoğu yerde kullanılıyor. Grafiklerde de süreklilik olması için (veya başka bir nedenden dolayı bilemiyorum) faktöriyel, gama fonksiyonu kastedilerek kullanılıyor. Ve gama (1,46) bu grafikteki yerel minimum noktasıdır. Bu noktanın irrasyonel olduğunu düşünüyorum. Bu sayıyı bulmak için bir formül var mıdır?

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Aradigniz bu mu?

image


image

16, Temmuz, 16 Okkes Dulgerci (1,425 puan) tarafından  cevaplandı

Sag tiklayip view image diyebilirsiniz.

Şey, aslında ben bunun ne kadar hızla artış gösterdiğini veya bu hızın ölçülüp ölçülemediğini sormuştum. Mesela $e^x$ logaritmik artar ve bir noktaya kadar $x!$den yüksek değerler verir. x fonksiyonu ise doğrusal artar. Ancak bu fonksiyonun (bir formülü olmasına rağmen) artış şeklini gösteren bir kavram yok mudur?

$x!$ fonksiyonu surekli degil diskrittir (sadece negatif olmayan tamsayilarda tanimli). Surekli olmasi icin suna bakmak lazim $\Gamma(z)=\int_{0}^\infty t^{z-1}e^{-t}dt$. Demissin ki: $e^x$ logaritmik artar. Ben bunu anlamadim. Surda surekli gamma fonksiyonun grafigi var.


image

Minimum degeri $0.885603$ ve $z=1.46163$ eger $z>0$.

NMinimize[{Gamma[z], 0 < z < 2}, z, Method -> "DifferentialEvolution"]
{0.885603, {z -> 1.46163}}


Hani x=1 iken y=e ve x=2 iken y=$e^2$ ya, ben o açıdan demiştim. Ve diskritten kastınız aritmik mi acaba? Eğer öyleise sorumun cevabını hemen hemen aldım. Sadece başından beri merak ettiğim bu farklı grafikler, x değerleri arttıkça bazılarında y değerleri yavaş kimisinde de hızlı artıyor. Bu hızın bir formülü yok mu yani hangi grafiğin daha hızlı artacağını x değerlerine yerine yazmadan saptamak mümkün mü?

Daha açık şöyle söyleyeyim, $x!$ fonksiyonu $x^x$ fonksiyonunu yakalayamıyor, biz bunu değer yazmadan nasıl anlardık?

(Ve bir de x! fonksiyonu imajiner sayılarda bile tanımlı, ama siz negatiflerde tanımlı değil neden dediniz ki? )

Diskritten kastım kesikli. $x! $ ve $\Gamma(x)$ farkli fonksiyonlar. Ilki kesikli ve negatif tamsayialrda tanimli degil. ikincisi surekli (tam olarak degil, negatif tamsayilar disinda surekli desek daha iyi olur.).


Bu arada $e^x$ ussel artar logaritmik degil.

...