Sağlayan $p$ asal sayılarını yazılım ile bulun.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
52 kez görüntülendi

Örneğin

                                   $x^2 + y^2 + z^2 \equiv 0 (mod p) \Rightarrow xyz \equiv 0 (mod p)$

önermesini sağlayan $p$ asal sayıları $2$ tanedir. $2$ ve $5$. Diğer $p$ asalları için herhangi biri $p$ nin katı olmayacak biçimde

                                                     $x^2 + y^2 + z^2 \equiv 0 (mod p)$

denkliğini sağlayan $x,y,z$ ler bulmak mümkün. Bunu elementer yöntemlerle kanıtlayabilirim.

Ancak aynı soruyu

                                       $x^3+ y^3 + z^3 \equiv 0 (mod p) \Rightarrow xyz \equiv 0 (mod p)$

olarak sorduğumda, soruyu çözemedim. Örneğin $7$ asalı bu önermeyi sağlar.

                                                                  $x^3 \equiv 0 , 1 , 6 (7)$

                                                                  $0+1+6=7$

                                                                   $0.1.6 \equiv 0 (7)$

Ancak $17$ istenen asal değildir. Çünkü

                                                                $x^3 \equiv 4,5,8 (17)$

için (tabi daha fazla kongrüent olduğu sayı var)

                                                                 $4+5+8 =17$

ancak ne $4$ ne $5$ ne de $8$ , 17 nin katı.

 Benim inancım bu soruda p asallarının sonsuz sayıda olduğudur. Bir yazılım yardımıyla bu p asallarını bulabilir misiniz ? Merak ettiğim gerçekten sonsuz olduğuna inanabilecek miyim ? En azından ispat için uğraşacağım, boşa uğraşmış olmam.

4, Temmuz, 4 Teorik Bilgisayar Bilimi kategorisinde Dogukan633 (838 puan) tarafından  soruldu
4, Temmuz, 4 Dogukan633 tarafından düzenlendi

$x,y,z$ leri nerden aliyoruz?

$(x,y,z)=(1,1,1) $ ve $p=3$   icin

$x^2 + y^2 + z^2 \equiv 0 (mod p) \nRightarrow xyz \equiv 0 (mod p)$

Tabi çok önceden çözdüğüm için yanlış yazmışım. Sağlayan p asal sayıları 2 ve 5 olacak. Konuya birkaç örnek de ekleyeceğim daha anlaşılır olması için. X y z ler Z kümesinden olacak

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

a = -100;
b = 100;
prime = Prime[Range@1000];
Cases[Transpose@{prime,
Thread[Length@
Catch@Table[
If[Mod[Total@{x^2, y^2, z^2}, #] == 0 &&
Mod[Times @@ {x, y, z}, #] != 0, Throw@{x, y, z}], {x, a,
b}, {y, a, b}, {z, a, b}] & /@ prime == (b - a + 1)]}, {_,
True}]

Mathematica kullanilarak,

Ilk onerme icin $[-100,100]\times[-100,100]\times[-100,100]$ arasindaki butun tamsayilar ($201^3=8,120,601$ tane uclu) ve $7919$ den kucuk butun asal sayilar icin bakildi. Onerme $p=2$ ve $p=5$ icin dogru gibi duruyor.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


a = -100;
b = 100;
prime = Prime[Range@1000];
Cases[Transpose@{prime,
Thread[Length@
Catch@Table[
If[Mod[Total@{x^3, y^3, z^3}, #] == 0 &&
Mod[Times @@ {x, y, z}, #] != 0, Throw@{x, y, z}], {x, a,
b}, {y, a, b}, {z, a, b}] & /@ prime == (b - a + 1)]}, {_,
True}]

Ikinci onerme icin $[-100,100]\times[-100,100]\times[-100,100]$ arasindaki butun tamsayilar ($201^3=8,120,601$ tane uclu) ve $7919$ den kucuk butun asal sayilar icin bakildi. Onerme $p=2$, $p=7$ ve $p=13$ icin dogru gibi duruyor.

4, Temmuz, 4 Okkes Dulgerci (1,425 puan) tarafından  cevaplandı
5, Temmuz, 5 Okkes Dulgerci tarafından düzenlendi

Teşekkürler. İlk önerme için  sağlananlar 2 ve 5 olacak sanırım.

İkinci önerme için sonsuz değilse gerçekten üzücü. Aralığı biraz daha açsak ?

Sanırım yokmuş. Birazdan cevabı eklerim.

...