$x^2 + ny^2$ tipindeki asallar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
86 kez görüntülendi

$n$ pozitif tamsayı

$x,y$ tamsayı

$p$ asal sayı

$i=1,2,3,...$ olmak üzere , $q_{i}$, $n$ nin tek böleni ve $q^*=(-1)^{\frac {q-1} {2} }$

olmak üzere aşağıdaki önermeyi kanıtlayalım. ($(\dfrac {a} {p})$ legendre sembolü)

$p=x^2+ny^2 \Leftrightarrow  (\dfrac {-n} {p}) = 1 \wedge (\dfrac {q_{1}^*} {p})=(\dfrac {q_{2}^*} {p})=...=1$

Örneğin $n=1$ için $(\dfrac {-1} {p}) = 1$ olması için $p=4k+1$ formunda olması gerekir. Gerçekten de tüm $4k+1$ tipindeki asal sayılar $x^2+y^2$ formundadır.

Önermenin soldan sağa kanıtı çok kolay. $x^2+ny^2 \equiv 0 (p)$ ise sağdakilerin sağlanacağı gayet bariz. Zor olan sağdan sola.

26, Mayıs, 26 Akademik Matematik kategorisinde Dogukan633 (836 puan) tarafından  soruldu
29, Mayıs, 29 Dogukan633 tarafından düzenlendi
...