$ 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \left[ \dfrac {n\cdot \left( n+1\right) }{2}\right] ^{2}$ önermesi ve tümevarım

0 beğenilme 0 beğenilmeme
38 kez görüntülendi
$ 1^3 + 2^3+ 3^3 + ... + n^3 = \left[ \dfrac {n\cdot \left( n+1\right) }{2}\right] ^{2}$
Önermesinin doğruluğunu tümevarım yöntemiyle ispatlayınız.
Benim denediğim yöntemler
n = 1 için P(1) : $ 1^3 = \left[ \dfrac {1\cdot \left( 1+1\right) }{2}\right] ^{2} $ $ =>  1=1 $
n=k için P(k) : $ 1^3 + 2^3+ 3^3 + ... + k^3 = \left[ \dfrac {k\cdot \left( k+1\right) }{2}\right] ^{2}$
n=k+1 için P(k+1) : $ 1^3 + 2^3+ 3^3 + ... + (k+1)^3 = \left[ \dfrac {(k+1)\cdot \left( k+1+1\right) }{2}\right] ^{2}$
P(k)'da her iki tarafa da $ (k+1)^3$ ' ünü ekliyorum fakat sonuca ulaşamıyorum.
13, Mayıs, 13 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Sümeyye0707 (21 puan) tarafından  soruldu
13, Mayıs, 13 Sümeyye0707 tarafından düzenlendi

Biraz once duzenledigim sorun gibi bunu da duzenleyebilir misin? Baslik ve etiket olarak...

$(k(k+1)/2)^2+(k+1)^3$ bunu topladin degil mi?

Evet..........

islemlerini bir goster, hatan varsa nerede oldugunu goruruz... 


$\begin{aligned}\dfrac {\left[ k\left( k+1\right) \right] ^{2}}{2^{2}}+\left( k+1\right) ^{3}\\ =\dfrac {k^2\cdot \left( k+1\right) ^{2}}{2^{2}}+\left( k+1\right) ^{3}\end{aligned}$

$=\dfrac {k^{2}\cdot \left( k+1\right) ^{2}+2^{2}\left( k+1\right) ^{3}}{2^{2}}$

Burada takıldım 

Yukariyi $(k+1)^2$ parantezine alarak devam edebilirsin.

$ \dfrac {\left( k+1\right) ^{2}\cdot \left[ k^{2}+2^{2}\cdot \left( k+1\right) \right] }{2^{2}} $


Devam et... 2^2 ac, parantezi dagit, sonra ifadeyi istegine gore duzelt vs.


Bence biraz carpanlara ayirma, polinomlari duzenleme vs gibi konulari biraz daha calismalisin...

Şimdi buldum, Vaktim olursa tekrar bakacağım o konulara Teşekkürler

Yorumlar ve yardımlarla çözüme ulaşılan soruların cevap kısmına soru sahibince çözümleri yazılsa sorular cevapsızlardan çıkacaktır. 

@Sercan hocam, bu hususta da titizlenmeliyiz diye düşünüyorum.

...