$\sqrt {x}+\sqrt {y}=\sqrt {2009}$ denkleminin tamsayılarda çözum kumesini bulunuz

0 beğenilme 0 beğenilmeme
125 kez görüntülendi

Her iki tarafın karesini alarak başladım. 

En son ikinci dereceden karmaşık bir denklem elde ettim sonra ilerleyemedim 

9, Nisan, 2018 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Mukaddes ky (40 puan) tarafından  soruldu
10, Nisan, 2018 alpercay tarafından yeniden etikenlendirildi

$\sqrt{y}=\sqrt{2009}-\sqrt{x}$ olarak yazip karesini al. Ayrica $2009$'u carpanlara ayir. Bunlar cozumu verebilir.

Yapamıyorum hocam yardim ederseniz sevinirim

Dediklerimi bir yazabilir misin?

(1) 2009'u carpanlara ayir.

(2) $\sqrt{y}=\sqrt{2009}-\sqrt{x}$ esitliginde her iki tarafin karesini al.

Sonrasina yardimci olurum

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$2009=49\times 41$ olduğunu biliyoruz, o halde $\sqrt{41}=a$ için $\sqrt{x}+\sqrt{y}=7a$ diyebiliriz. Köklü ifadelerin içinin tamsayı olması için katsayıları da tamsayı olmalidir, toplamda $\dbinom{7+2-1}{2-1}=8$ tamsayı çözüm mevcut, $a$ cinsinden...

9, Nisan, 2018 Deniz Tuna Yalçın (895 puan) tarafından  cevaplandı
14, Nisan, 2018 Mukaddes ky tarafından seçilmiş

7+2-1 işlemi katsayilar üzerinden mi yapıldı anlamadım 

$a+b=7$ ise $$a=0,\quad b=7\\a=1,\quad b=6\\.\\.\\.\\a=6,\quad b=1\\ a=7,\quad b=0$$ çözümler değil midir? Şekle baktığınız zaman kaç çözüm var?

Anladım teşekkürler 

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$R$ de çözüm istendiğini düşünürsek doğal sayı çözümleri bulacağız. Şunu önerebiliriz:

$\sqrt x+\sqrt y=7\sqrt {41}=\sqrt {41}+6\sqrt {41}=\sqrt {41}+\sqrt {1476}$

Bu durumda $x=41$  ve  $y=1476$  bir çözümdür.  $7\sqrt {41}$  sayısını toplam olarak parçalayarak yazıyoruz. Burada $\sqrt {41}$  sayısının katsayıları  $1$   ve  $6$  oldu. Diğer katsayılar ikili olarak $(2,5),(3,4),...$ gibi devam edecek. $x=0$  ve  $y=0$  durumlarını da hesaba kat.

11, Nisan, 2018 alpercay (1,350 puan) tarafından  cevaplandı
...