$(G,\star_1)$ grup ve $X$ bir küme olmak üzere $f:G\to X$ bir eşleme ve $x\star_2 y:=f\left[f^{-1}(x)\star_1 f^{-1}(y)\right]$ ise $(X,\star_2)$ gruptur.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
52 kez görüntülendi

$G$ grup olsun $X$ herhangi bir küme olsun.

$(x,y\in X)x\star y=f\left[f^{-1}(x)f^{-1}(y)\right]$ operasyonu altında gruptur.

Ben yaptım sayılır ama emin olamıyorum kontrol eder misiniz?

Kapalılık:

$x,y\in X$ olsun. $x\star y=f\left[f^{-1}(x)f^{-1}(y)\right]$

Yorum: Mesela burada $f$ eşleme olduğu için her $x\in X$ için biricik bir $f^{-1}(x)\in G$ vardır dedim. Dolayısıyla $G$ zaten grup olduğu için ve kapalı olduğu için $f^{-1}(x)f^{-1}(y)\in G$ olur dolayısıyla $f(G)$ olduğundan $X$ bu operator altında kapalıdır dedim.

Birim eleman:

Öyle bir $e\in X$ olacak ki her $x\in X$ için $x\star e= e\star x=x$ olacak

Yorum: $x\in X$ için $x\star e=f\left[f^{-1}(x)f^{-1}(e)\right]=x=f(f^{-1}(x))$. Burada da $f$'lerin içine baktım 

$f^{-1}(x)f^{-1}(e)=f^{-1}(x)$  olması ispatı bitirir çünkü yorum: satırında yazdıgım eşitlikten dolayı, dedim.

buradaki elemanlar : $f^{-1}(x),f^{-1}(e)$ hepsi grup elemanı olduğundan $f^{-1}(e)=e$ elemanının birim elemanını sagladıgını söyledim.

Birleşme:

$x\star(y\star z)=(x\star y)\star z$ olduğunu göstermeli her  $ x,y,z\in X$ için.

Yorum: Burada direkt olarak tersine dönüyor, işlem kalabalığından başka bir sorun yok.

$x\star(y\star z)=f\left\{f^{-1}(x  ) f^{-1}( y\star z )\right\}=f\left\{f^{-1}(x  ) \underbrace{f^{-1}\left( f\left[ f^{-1}(  y) f^{-1}(  z)\right]\right)}_{f^{-1}(y)f^{-1}(z)}\right\}=f\left\{f^{-1}(x  )f^{-1}(y  )f^{-1}(z )\right\}=....=(x\star y)\star z$ 

Tersinir eleman:

$(x,y\in X)x\star y=f\left[f^{-1}(x)f^{-1}(y)\right]$  operasyon bu olduğu için ve $G$ grubunda  her $f^{-1}(x)$ için bir tersi olduğundan ve $f(e)=e$ olduğundan bu özellik de saglanır dedim.


15, Mart, 15 Lisans Matematik kategorisinde user29182491942 (27 puan) tarafından  soruldu
15, Mart, 15 murad.ozkoc tarafından düzenlendi

sorum düzenlenmiş ancak $\star_2$ kafa karıştırmasın diye yazılmamıştı

...