Süreklilik Üzerine-III

0 beğenilme 0 beğenilmeme
88 kez görüntülendi
$A\subseteq \mathbb{R}, \ f\in\mathbb{R}^A$  ve  $a\in A\cap D(A)$ olmak üzere
$$f, \ a\text{'da sürekli}\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$$ olduğunu gösteriniz.

Not: $D(A):=\{x|x, A\text{'nın yığılma noktası}\}$
4, Mart, 2018 Lisans Matematik kategorisinde murad.ozkoc (9,114 puan) tarafından  soruldu
17, Nisan, 2018 murad.ozkoc tarafından düzenlendi

normal tanımdan ne farkı var hocam

Şu linke bir göz at Anıl. Sonra gerekirse yine tartışırız.

Tanımı şöyle veriyoruz Anıl.

Tanım (Noktasal Süreklilik): $A\subseteq \mathbb{R}$, $f\in \mathbb{R}^A$  ve  $a\in A$ olmak üzere

$$f, a\text{'da sürekli}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$ (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)$$

$$$$

Tanım (Yaygın (Global) Süreklilik): $A\subseteq \mathbb{R}$ ve $f:A \rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyon olmak üzere

$$f, (A\text{'da}) \text{ sürekli}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\forall a\in A)(f, a\text{'da sürekli})$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\forall a\in A)(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)$$

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
$(\Rightarrow):$ $f, \ a\text{'}$da sürekli ve $\epsilon>0$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} \epsilon>0 \\ \\ f, \ a\text{'da sürekli} \end{array}\right\}\Rightarrow (\exists\delta>0)(A\cap (a-\delta,a+\delta)\subseteq f^{-1}[(f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)])$ 

$\Rightarrow (\exists\delta>0)(A\cap [(a-\delta,a)\cup (a,a+\delta)]\subseteq f^{-1}[(f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)]).$

$------------------------------------$

$(\Leftarrow):$ $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$ ve $\epsilon>0$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} \epsilon>0 \\ \\ \lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a) \end{array}\right\}\Rightarrow (\exists\delta>0)(A\cap [(a-\delta,a)\cup (a,a+\delta)]\subseteq f^{-1}[(f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)])$

$\Rightarrow (\exists\delta>0)(A\cap (a-\delta,a+\delta)\subseteq f^{-1}[(f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)]).$
5, Mart, 2018 murad.ozkoc (9,114 puan) tarafından  cevaplandı
19 saat önce murad.ozkoc tarafından düzenlendi
...