Süreklilik Üzerine-III

0 beğenilme 0 beğenilmeme
38 kez görüntülendi
$A\subseteq \mathbb{R}, \ f\in\mathbb{R}^A$  ve  $a\in A\cap D(A)$ olmak üzere
$$f, \ a\text{'da sürekli}\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$$ olduğunu gösteriniz.

Not: $D(A):=\{x|x, A\text{'nın yığılma noktası}\}$
4, Mart, 4 Lisans Matematik kategorisinde murad.ozkoc (8,818 puan) tarafından  soruldu
3 gün önce murad.ozkoc tarafından düzenlendi

normal tanımdan ne farkı var hocam

Şu linke bir göz at Anıl. Sonra gerekirse yine tartışırız.

Tanımı şöyle veriyoruz Anıl.

Tanım (Noktasal Süreklilik): $A\subseteq \mathbb{R}$, $f\in \mathbb{R}^A$  ve  $a\in A$ olmak üzere

$$f, a\text{'da sürekli}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$ (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)$$

$$$$

Tanım (Yaygın (Global) Süreklilik): $A\subseteq \mathbb{R}$ ve $f:A \rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyon olmak üzere

$$f, (A\text{'da}) \text{ sürekli}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\forall a\in A)(f, a\text{'da sürekli})$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\forall a\in A)(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)$$

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
$(\Rightarrow):$ $f, \ a\text{'}$da sürekli ve $\epsilon>0$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} \epsilon>0 \\ f, \ a\text{'da sürekli} \end{array}\right\}\Rightarrow (\exists\delta>0)(A\cap (a-\delta,a+\delta)\subseteq f^{-1}[(f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)])$ 

$\Rightarrow (\exists\delta>0)(A\cap [(a-\delta,a)\cup (a,a+\delta)]\subseteq f^{-1}[(f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)])\Big{/}\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a).$

$------------------------------------$

$(\Leftarrow):$ $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$ ve $\epsilon>0$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} \epsilon>0 \\ \lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a) \end{array}\right\}\Rightarrow (\exists\delta>0)(A\cap [(a-\delta,a)\cup (a,a+\delta)]\subseteq f^{-1}[(f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)])$

$\Rightarrow (\exists\delta>0)(A\cap (a-\delta,a+\delta)\subseteq f^{-1}[(f(a)-\epsilon,f(a)+\epsilon)])\Big{/} f, \ a\text{'da sürekli.}$
5, Mart, 5 murad.ozkoc (8,818 puan) tarafından  cevaplandı
...