(Altın oranla ilgili bir önerme) $ABC$ üçgeninin $BC$ kenarı üzerinde $|DC|=|AB|$ olacak şekilde bir $D$ noktası alalım.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
84 kez görüntülendi

Önerme. $ABC$  üçgeninin $BC$ kenarı üzerinde $|DC|=|AB|$ olacak şekilde bir $D$ noktası alalım. $m(\widehat{BAD})=\alpha$,  $m(\widehat{ABD})=\theta$   ve  $m(\widehat{ACD})=\beta$  olsun. Altın oran $\phi$ ile sembolize edilsin. Gösteriniz ki $$\dfrac{\sin(\alpha+\theta)}{\sin\alpha}=\phi$$   ise  $\alpha=\beta$  dır. (M.Yağcı,2002)

ilgili bağlantı

Not: Önerme ilk olarak kim(ler) tarafından verildi bilemiyorum. Ama bizde bildiğim kadarıyla ilk olarak M.Yağcı vermiş.

27, Şubat, 27 Orta Öğretim Matematik kategorisinde alpercay (1,178 puan) tarafından  soruldu
27, Şubat, 27 alpercay tarafından düzenlendi

Direk dar açılarda $\dfrac{\sin{(\alpha+\theta})}{\sin\alpha}=\dfrac{\sqrt5+1}{2}$ ise $\alpha+\theta=72^\circ$ ve $\alpha=36^\circ$ diyerek çözmek yasal mıdır hocam? (Daha doğrusu, ispatlamak gerekli mi?)

Esitligi saglayan baska acilar da olabilir Deniz. Mesela 54 ve 30 gibi. Kanit lazim velhasil.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$|AB|=a$, $|BD|=b$ olsun. $\dfrac{\sin(\alpha+\theta)}{\sin\alpha}=\dfrac{a}{b}=\phi$ ve $\phi^2=\phi+1$ olduğunu biliyoruz. O halde $\left(\dfrac{a}{b}\right)^2=\left(\dfrac{a}{b}\right)+1\Rightarrow a^2=b(a+b)$,  $|DC|=a$ olduğundan $D$ noktasında dış kuvvet sağlanır, $A,D,C$ çembersel ve $|BA$ bu çembere teğettir. $$\alpha=\theta.$$

9, Mart, 9 Deniz Tuna Yalçın (895 puan) tarafından  cevaplandı

Tesekkurler Deniz. Benzer kaniti M.Yagci da vermis.

Rica ederim hocam:)

...