Eşitsizliği sağlayan en küçük "b" tam sayısı kaçtır?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
46 kez görüntülendi

2/5 < a/b < 1/2

Bu eşitsizliği sağlayan en küçük "b" tam sayısı kaçtır ?

Deneyerek 7 bulabiliyoruz fakat neden ? Deneme yapmadan bulabilmemiz lazım. Bu arada "a ve b tam sayı"

31, Aralık, 2017 Orta Öğretim Matematik kategorisinde command36 (13 puan) tarafından  soruldu
31, Aralık, 2017 Sercan tarafından düzenlendi

Deneyerek nasil buldunuz? 

Kesir %40 ile %50 arasında olduğundan pay paydanın %40'ı ile %50'si arasında olmalı ki bu aralıkta kalabilsin. Kesri genişleterek 20 buldum. Sonra daha küçük sayılar için denedim. 7'den küçük sayıların %40'ı ile %50'si alındığında elde edilen aralıkta tam sayı bulamıyoruz.


Örneğin; 7*%40 = 2.8

               7*%50 = 3.5

               2.8 < 3 < 3.5 sağladı


Daha küçük sayılar için aynı şeyi denediğinizde tam sayı bulamıyorsunuz. Fakat benim istediğim denemeden bir işlem yapalım ve direk 7'yi elde edelim. Bunu yapabilmeliyiz.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Eger $a$ ve $b$ negatif tam sayilar olabilirse $b$ icin cok kucuk degerler secebiliriz. $$\frac{-45}{-100},\frac{-450}{-1000},\frac{-4500}{-10000}, \cdots$$ gibi... Dolayisi ile en kucuk $b$ degerini bulamayiz. Yoktur.

Bu nedenle $a$ ve $b$ tam sayilari pozitifken bu en kucuk degeri arayalim. (Ek bilgi olarak sunu belirtelim: Pozitif tam sayilarin bos olmayan her alt kumesi bir en kucuk eleman icerir. Dolayisiyla burada istenen degeri bulabiliriz).

$a$ ve $b$ pozitif tam sayilarini aralarinda asal secebiliriz. Bu seceim mantikli cunku herhangi bir pozitif $n\ge 2$ icin $$nb>b$$ saglanir. Dolayisiyla sadelestirmeleri yapip aralarinda asal hale getirmek ile potansiyel en kucugu bulmus oluruz. (Bunu kullanmayacak olsak bile bu sorularda ise yaramasi epey muhtemeldir).

Esitsizligi pozitif tam sayi olan $b$ ile carpalim: $$0.4\cdot b< a < 0.5\cdot b$$ olur.  Uc degerler arasindaki fark eger $1$'den buyuk olursa her turlu araya bir tam sayi girer. Dolayisi ile $$b\ge 11$$ ise uygun bir $a$ degerini bulabiliriz.

Su an deneme yapmamiz gereken degerler $$\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$$ kumesinin elemanlari. Kucuk bir kume... Bu kume icerisinde istenen sarti saglayan degerler (senin dedigin gibi deneyerek) $$7,9$$ degerleri. (Dikkat edilirse $8$ ve $10$ saglamiyor!)

Burada deneme yapmadan nasil bulunur? 

Bir $b$ degeri icin elimizde cubuk boylari $0.1\cdot b$ olan cubuklar var. Bu cubuk boyu $1$'i gectiginde araya $a$ tam sayisi alabiliriz dedik. Lakin $1$'den kucuk esit ise bu cubuk ne zaman bir tam sayiyi icerir? Bu soruya tam cevap vermebilmek icin cubuk boylarinin uc noktalarini bilmemiz gerekir. Bunu da o sayilari carparak elde etmemiz yani buradaki tabiri ile denememiz gerekir. 

Uc noktalara yakin bir deger de is gormeyebilir. Eger $6-10^{-100^{100}}$ ve $6+10^{-100^{100}}$ gibi iki uc deger gelecek olursa, hata payinin kucuklugune gore yakin degerler almak da hata verebilir.

_________________

Bazi ozel sayilar icin bir iki ozel hal genellestirilebilir. Ornegin burada $0.5$  ozel bir sayi. En kucuk $b$'nin tek olacagi ve $b>5$ (boyun 0.5i asmasi icin) olacagi ve de $7$ (0.5i astigi ilk yer) gelecegi cok cabuk gozukuyor. Yani bu soruyu cat diye cozmek de kolay. 

1, Ocak, 1 Sercan (23,338 puan) tarafından  cevaplandı
2, Ocak, 2 Sercan tarafından düzenlendi

Güzel yorumlamışsınız hocam teşekkür ederim. Bununla ilgili daha net bir çözüm için teorem olduğunu söyleyen bir arkadaşım var. Ben bir araştıracağım buraya da yazarım. İlginiz için tekrar teşekkürler.

Bazi ozel sayilar icin bir iki ozel hal genellestirilebilir. Ornegin burada $0.5$  ozel bir sayi. En kucuk $b$'nin tek olacagi ve $b>5$ (boyun 0.5i asmasi icin) olacagi ve de $7$ (0.5i astigi ilk yer) gelecegi cok cabuk gozukuyor. Yani bu soruyu cat diye cozmek de kolay. 

Bu dedigim fikir ile bircok genel hal icin kisa yol bulunabilir. 

Genel halleri de bu formata her zaman ceviremeyebiliriz? Rasyonel uc noktalar icin biraz islemleri hizlandirmak mumkun gibi. $e<a/b<\pi$ gibi irrasyonneller icin ya da coc cok yakinlar icin nasil olur. Dusunmeye deger... 

Ben su an epey yogun oldugumdan bu dedigim sorulari cozmeye pek vakit ayiramayacagim. Fakat teoremler ya da fikirlerin var ise lutfen bana da haber ver. 

...