Tamsayı ve mersenne asalları

0 beğenilme 0 beğenilmeme
52 kez görüntülendi

$p,d$ tamsayı,

$n=(p-1)!\left(\dfrac {1} {p} + \dfrac {(-1)^d.d!} {p+d}\right)  + \dfrac {1} {p}  + \dfrac {1} {p+d}$

eşitliğini göz önüne alalım. $n$ bir tamsayı ise $p$ ve $p+d$ nin ikisi de asal sayı olmalıdır. Kanıtlayınız.

Eğer bu kanıt yapılabilirse mersenne asallarının ispatı için büyük bir silahımız olacak...

31, Aralık, 2017 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Dogukan633 (807 puan) tarafından  soruldu
2, Ocak, 2 Sercan tarafından yeniden kategorilendirildi

Nasıl bir silah olacak?

Eger $p$ ve $p+d$ asal ise $n$ her zaman tam sayi olur. Degil ise ilk ilgilili terimi tam sayi olur. Digeri iki terimden biri ya da ikisi tam sayi olmayi bozar. $$(-1)^dd!\equiv (p+d-1)(p+d-2)\cdots(p+1)p \mod (p+d)$$ oldugunu kullanarak...

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Ilk olarak su gozlemi yapalim: $$(-1)^dd!\equiv (p+d-1)(p+d-2)\cdots(p+1)p \mod (p+d)$$ oldugundan $$(p-1)!\cdot(-1)^dd!\equiv (p+d-1)! \mod (p+d)$$ saglanir.

$q$ asal ise $$(q-1)!+1 \equiv 0 \mod q$$ saglanir, egel degilse $$(q-1)!\equiv 0 \mod q$$ saglanir. Dolayisi ile $$0,\;\;\;\frac1p,\;\;\;\frac1{p+d},\;\;\;\frac1p+\frac{1}{p+d}$$ degerlerinden tam sayi olanlara bakmaliyiz. 


Eger $p\ge 2$ ve $d>0$ ise sadece $0$ tam sayi olabilir. Bu da $p$ ve $p+d$ sayilarinin asal oldugu durum. 

2, Ocak, 2 Sercan (23,338 puan) tarafından  cevaplandı
...