$e+\pi$ ve $e.\pi$ sayıları - Matematik Kafası

$e+\pi$ ve $e.\pi$ sayıları

0 beğenilme 0 beğenilmeme
67 kez görüntülendi

$e+\pi$   ve   $e.\pi$    sayılarından  en birinin  transendental (aşkın)  olduğunu gösterebilir misiniz?

Bu soru ile ilgili


30, Kasım, 2017 Lisans Matematik kategorisinde alpercay (1,194 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap
Buradaki cevapta vermis oldugum kestirmenin benzeri burada da kullanilabilir.

Eger ikisi de cebirsel olsayi $$(\pi+e)^2-4e\pi$$ ve dolayisi ile de $\pi-e$ cebirsel olurdu. Bu da bize $$\frac{1}{2}\left[(\pi+e)+(\pi-e)\right]=\pi$$ degerinin de cebirsel olmasi gerektigini verirdi. Bu sekilde celiski elde ederiz.
1, Aralık, 2017 Sercan (23,792 puan) tarafından  cevaplandı
1, Aralık, 2017 alpercay tarafından seçilmiş

Salih Hoca çözümünde "rasyonel katsayılı polinomların kökleri de cebirseldir"  teoremini kullanıyor ve bunlardan en az biri irasyoneldir diyor; bu bir çok kaynakta böyle geçiyor. Fakat biliyoruz ki  bunlardan en az biri cebirsel değil. O zaman şunu diyebilir miyiz?: " Katsayıları cebirsel olan polinomun kökleri de cebirseldir". Buna göre Salih Hoca'nın çözümü bu sayılardan en birinin aşkın olduğunu da söyler. 

Aşkın sayılarla ilgili bir yazı: http://geomania.org/forum/index.php?topic=683.0

Katsayıları cebirsel olan polinomların kökleri de cebirseldir. Çünkü cebirsel sayılar cebirsel kapalı bir cisim.

Pekiyi  $a^2$   sayısı  cebirsel  iken  $a$   nın cebirsel olduğunu nasıl söyleriz?

$c$ herhangi bir cebirsel sayı ise, cebirsel sayıların cebirsel kapalı olduğunu kullanırsak $x^2-c$ polinomunun bir kökü olmak zorunda. Yani cebirsel sayıların karekökü de cebirseldir. Mesela $a^2$ cebirsel ise $x^2-a^2$ polinomunun katsayıları cebirsel, fakat bu polinom $(x-a)(x+a)$'ya eşit. Demek ki ya $a$ ya da $-a$ cebirsel. Demek ki $a$ cebirsel.

Tanim olarak da soyle soyleyebiliriz: $a^2$'yi sifirlayan polinom $P(x)$  olsun. Bu durumda $P(a^2)=0$ olur. Eger $Q(x)=P(x^2)$ olacak sekilde $Q$ polinomuna bakarsak $Q(a)=P(a^2)=0$ olur. 

MD-2007-IV sayisinda (syf 35) soyle bir kanit var:" Rasyonel katsayili bir polinomu saglamayan sayilara askin sayilar denir. Madem ki $e$  ve   $\pi$ cebirsel degiller o zaman $e+\pi$   ve   $e.\pi$   sayilarinin her ikisi birden cebirsel olamazlar, yoksa hem $e$  hem de  $\pi$   $x^2-(e+\pi)x+e\pi=0$   denklemini saglardi ve her ikisi birden cebirsel olurdu. Tabii bu akil yurutme $e+\pi$  ya da  $e\pi$  sayilarindan hangisinin askin oldugunu soylemiyor". 

Simdi boyle bir kanit bu haliyle bu sayilardan en az birinin irrasyonel oldugunu soyler, cunku rasyonel katsayili bir polinomun koklerinin cebirsel oldugunu biliyoruz, fakat $e$  ile  $\pi$  cebirsel olmadigindan katsayilar rasyonel olamazlar yani irrasyoneller. Yani burada $e+\pi$   ve  $e\pi$  katsayilarini rasyonel varsayip celiskiye dustuk. O zaman once " Cebirsel katsayili olan bir polinomun kokleri de cebirseldir" onermesini soyleyip sonra ayni kaniti vermeliyiz. Yaniliyor muyum?

Zaten oyle yapmamislar mi? @Riemann'in ve senin son cumlende dedigini kullanarak...

Tabii burada cebirsel elemanlarin olusturdugu kumenin bir cisim hatta cebirsel kapali bir cisim oldugunu gostermemiz gerekiyor. Buradaki cevaba gore daha yukaridan araclar kullaniliyor diyebilirim.

...