Düzlemde $A(1,0), B(5,2)$ noktaları veriliyor. $y=x+2$ doğrusu üzerinde, $|AC|^2+|CB|^2$ minimum olmasını sağlayan bir $C$ noktası alınıyor. Bu durumda $|AC|^2+|CB|^2=?$ Şeklindeki bir TÜBİTAK 2017 olimpiyat sorusu için kaç farklı çözüm üretebiliriz?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
102 kez görüntülendi

Merhabalar;

$\text{Soru}$

Düzlemde $A(1,0),\quad B(5,2)$ noktaları veriliyor. $y=x+2$ doğrusu üzerinde $|AC|^2+|BC|^2$ minimum olmasını sağlayan bir $C$ noktası alınıyor. Bu durumda $|AC|^2+|CB|^2=?$ (Aldığım kaynakta da direk soru işaretiyle bitiyor.)

$\text{Çözümüm}$ 

Seçeceğimiz $C$ noktası eğer $y=x+2$ doğrusu üzerinde ise bu noktayı $C(x,x+2)$ şeklinde gösterebiliriz şimdi $|AC|$ ve $|CB|$ uzunluklarını bu ifadeye dayanarak bulalım: $$|AC|=\sqrt{(x-1)^2+(x+2)^2}$$ $$|CB|=\sqrt{(x-5)^2+(x+2-2)^2}$$ bulunur eğer bu ifadelerin karesini alır ve toplarsak $$4x^2-8x+30$$ buluruz ve buradan bu parabolün minimum değerini bulmak için türev veya $r=-b/2a$ kullanılarak $f'(x)=(4x^2-8x+30)'=8x-8=0\Rightarrow x=1$ ve $f(1)=26$ bulunur.


Benim merak ettiğim bu soruyu çözmek için daha elementer ne yöntemler kullanabiliriz, mesela $A.G.O$ eşitsizlikleri yahut karesel ortalama aritmetik ortalama gibi eşitsizliklerle yapabileceğimiz bir şey var mı?

1, Kasım, 2017 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Deniz Tuna Yalçın (895 puan) tarafından  soruldu

Bu seneki sınavın sorularını hiç beğenmedim ya bune :)

:) Soruyu yazarken değerini bulunuz demeye bile erinmiş adamlar, direk soru işareti. Neyse bu seneninkilere bakacağız artık, umarım daha özenli hazırlarlar.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Geometrik Çözüm:

Şunları kullanacağız (sanırım elementer şeyler):

  1. Bir paralekenarda kenarların kareleri toplamı köşegenlerin kareleri toplamına eşittir.
  2. Bir paralelkenarın köşegenleri birbirini iki eşit parçaya ayırır.

$AB$ nin orta noktasına $Q$ diyelim.

$P$ verilen doğru üzerinde herhangi bir nokta olsun. Üç köşesi $A,B,P$, bir köşegeni $AB$ olan paralelkenarı düşünelim (Dördüncü köşe $P$ nin $Q$ ya göre simetriğidir.)

$|PA|^2+|PB|^2=\frac12(|AB|^2+4|PQ|^2)=10+2|PQ|^2$ olur.

Bunu en küçük yapmak için $|PQ|$ yu en küçük yapan $P$ noktasını yani verilen doğru üzerinde $Q$ ya en yakın noktayı bulmalıyız. Bu da $Q$ da verilen doğruya dik  inerek bulunur. Bu uzaklık da (noktadan doğruya uzaklık formülünü bile kullanmadan) şöyle bulunabilir. Doğru üzerindeki en yakın noktaya $C$ diyelim. $Q$ dan çizilen yatay doğrunun, verilen doğruyu kestiği nokta $D$ ise, $DCQ$ (dar açıları $45^{\circ}$ olan, dolayısıyla ikizkenar)  bir dik üçgendir.Hipotenüsü kolayca 4 olarak bulunur. Burada dik kenarlar (dolayısıyla $Q$ nun verilen doğruya uzaklığı) $\frac4{\sqrt2}=2\sqrt2$ bulunur.

$|CA|^2+|CB|^2=10+16=26$ olur.



1, Kasım, 2017 DoganDonmez (3,626 puan) tarafından  cevaplandı
2, Kasım, 2017 Deniz Tuna Yalçın tarafından seçilmiş

Değerli cevabınız için teşekkür ederim hocam.

$A$ noktasının verilen doğruya göre simetriği olan nokta $A'(-2,3)$ dır.  $A'B$ doğrusunun verilen doğruyu kestiği nokta $K(5/8,21/8)$ olup, $|KA|+|KB|$ minimum olduğu halde neden $|KA|^2+|KB|^2$ minimum olmuyor acaba?

Ornek verecek olursak:

$1+6=7$ ve $1^2+7^2=50$
$4+4=8$ ve $4^2+4^2=32$

$a+b>c+d$ olmasi $a^2+b^2>c^2+d^2$ olmasini gerektirmiyor.

...