$23x+11y=4$ denklemini veren $(x,y)$ tamsayılarının toplamı?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
102 kez görüntülendi
Merhabalar,
$23x+11y=4$ denklemini sağlayan $(x,y)$ tamsayı ikilileri için $x+y$ aşağıdakilerden hangisi olabilir?
$A)-10,\quad B)-8,\quad C)-4,\quad D)4,\quad E)8$

Ben bu soruyu çözerken şöyle düşündüm, bu denklemi $4$ modülüne alırsam $$23x+11y\equiv 3x+3y\equiv 0 \pmod{4}$$ ve buradan $3(x+y)=4k,k\in\mathbb{Z}$ ise $(4,3)=1$ olduğu için $(x+y)=4k$ olur. Bu sorudaki şıklardan birden fazlasının doğru olduğu anlamına gelir, Wolframa girdiğim zaman da $11n+4$ ve $-23n-11$ sonucunu aldım ve mesela $n=-1$ için $x+y=8$ olabiliyor. Cevap $4$'müş (en azından cevap anahtarına göre)

Bu neden böyle?
Kaçırdığım bir şey mı var, ya da soruda $4$ elde edilmesi için daha fazla mı bilgiye ihtiyaç var?
26, Ekim, 2017 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Deniz Tuna Yalçın (895 puan) tarafından  soruldu

Mod sana blr kümede olduğunu söyler, kümenin tümümdeki değerleri alabileceğini söylemez. Bir tam sayı için düşünebilirsin ya da bir polinom.

Wolframda yanlış hesaplamışsın galiba. Bir çözüm bulmalısın. Zeten -11t ve +23t ekleme sebebi bariz, sıfır yapıyor denklemde... ve tüm çözümleri de veriyor.

Linke tıkladım -11 yazdığın yerde -8 var.

A evet soruda yanlış yazmışım $11n+4$ ve $-23n-8$ olur. Ama bunları toplar ve $-12n-4$ de $n=-1$ yazarsak $8$ de çıkıyor. Evet kümenin tümündeki değerleri alamaz ama yalnızca bir değer alabileceği yargısına nereden varabiliriz hocam?


Bir değer değil sonsuz tane alıyor. Bulduğumuz tüm sonuçlar gereği x+y=-4+12(-n)... Yani toplam aslında mod 12'de 8'e denk olanlar olabilir. Bu da 4e bölünenler kümesinin içinde. Cevaplarda hem -4 hem de 8 var, iki cevaplı soru...

Şıkları bunu düşünmeden yazmışlar. Teşekkür ederim hocam:)

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Verilen ifade bir dogru denklemi ve cozumu $$(at+b, ct+d)$$ cinsinden olmali ve egim geregi  (ya da basitcene $x$'i ya da $y$'yi cekerek) $$a=-11\;\;\;\text{ ve } c=-23$$ secebiliriz; yani $$(-11t+b,23t+d)$$ olacak sekilde bir $$23b+11d=4$$ denklemini saglayan bir $(b,d)$ ikilisi bulmaliyiz. Bunun icin Ters Oklit Algoritmasi var. $23$ ile $11$ arasinda asal oldugundan oyle $s,t\in \mathbb Z$ vardir ki $$23s+11t=1$$ olur (Bu $s$ ve $t$ degerleri teorik olarak var, hem de algoritmik olarak da Ters Oklit Algoritmasi ile bulunabiliyor) ve bunu $4$ ile carparsak  $$23(4s)+11(4t)=4$$ olacak sekilde degerleri bulabiliriz.

 Tabi elle deneyerek de bulunabilir. Ben ustteki islemlere su an girmemek icin (mantigini bilmek ve bilgisayara program olarak girmek yeterli aslinda...) sadece cevaptaki gibi $$23\cdot 4+11\cdot(-8)=4$$ oldugu bilgisini kullanacagim. Bu da bize dogrumuzdaki noktalarin $$\{(-11t+4,23t-8) \; | \: t \in \mathbb R\}$$ oldugunu verir.

Eger $x$, $y$ tam sayi olsun istersek (yine aralarinda asallik geregi) $t \in \mathbb Z$ olmali. Dolayisiyla bu sarti saglayan noktalarin kumesi $$\{(-11t+4,23t-8) \; | \: t \in \mathbb Z\}$$ olur.

26, Ekim, 2017 Sercan (23,805 puan) tarafından  cevaplandı
26, Ekim, 2017 Deniz Tuna Yalçın tarafından seçilmiş
...