$(x+x^2+x^3)^5$ açılımında kaç terim vardır?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
268 kez görüntülendi
 Bu tür 3lu ifadeler ve ifadelerin de üssü olunca nasıl oluyor lütfen yardım eder mısınız?
10, Ekim, 2017 Serbest kategorisinde Dehaxdxdxd (11 puan) tarafından  soruldu
10, Ekim, 2017 murad.ozkoc tarafından düzenlendi
Mesela $(x^2+x^3)$'ü tek bir terim gibi düşünüp açılımı yapabiliriz(Ya da $(x+x^2)$'yi fark etmez). (Zaten üssü $5$ olduğu için kısa sürer) Sonra bir kere daha $(x^2+x^3)$'lü ifadeler için terim sayısına bakarız. 

En son da bulununan terim sayılarını topluyor muyuz 

Sorunuzun daha güzel görünmesi için, lütfen başına ve sonuna $ işareti koyar mısınız?

Buradaki çözümü ve yorumlardaki linkleri incelemenizi öneriyorum.

<p> Teşekkür ederim :) 
</p>

Sayın @ Dehaxdxdxd  yorumlarımızı cevap kısmına yazmayalım. Soru cevaplanmadığı halde çözülmüşlerin içinde yer aldı. 

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Kat sayisi sifir olmayan $x$'in kuvvetleri nelerdir? Bu polinomun en kucuk derecesi $5$ ve en buyuk derecesi $15$... Aradaki her degeri alabilecegini gormek zor degil.

Ornegin;

1 1 1 1 1 bize 5 verir
1 1 1 1 2 de 6
1 1 1 2 2 ya da 
1 1 1 1 3 de 7 verir.

Burada katsayilar pozitif binom katsayilri da pozitif. Dolayisiyla $$x^5,x^6,x^7,x^8,\cdots,x^{15}$$ katsayilarinin hepsi de pozitif olur ve istenen cevap $$(15-5)+1=11$$ olur.

11, Ekim, 2017 Sercan (23,859 puan) tarafından  cevaplandı
11, Ekim, 2017 Sercan tarafından düzenlendi
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bir de multinom ile çözelim: $$(x+x^2+x^3)^5=\sum_{n_1,n_2,n_3=1\\n_1+n_2+n_3=5}^{5} \dbinom{5}{n_1,n_2,n_3}x^{n_1}\cdot x^{2n_2}\cdot x^{3n_3}$$ şeklinde olur. Bu ifadede $15-5+1=11$'den fazla terim bulunamaz, ancak bu $11$ terim bulunacağı anlamına gelmez, bu yüzden arada alabileceği değerleri yine de kontrol etmeliyiz: $n_1+n_2+n_3=5$ olmak üzere $S=n_1+2n_2+3n_3$ ifadesinin alabileceği değerleri inceleyelim, $S=n_1+n_2+n_3+n_2+2n_3=5+n_2+2n_3=5+(5-n_1)+n_3=10-n_1+n_3$ olduğundan $$n_1=5\text{ ise },n_3\in\{0\} \text{ olabilir ve } S\in\{5\}\text{ olur.}\\n_1=4\text{ ise }, n_3\in\{0,1\}\text{ olabilir ve } S\in\{6,7\}\text{ olur.}\\n_1=3\text{ ise },n_3\in\{0,1,2\}\text{ olabilir ve }S\in\{7,8,9\}\text{ olur.}\\n_1=2\text{ ise },n_3=\{0,1,2,3,4\}\text{ olabilir ve } S\in\{8,9,10,11\}\text{ olur.}\\n_1=1\text{ ise },n_3\in\{0,1,2,3,4\}\text{ olabilir ve } S\in\{9,10,11,12,13\}\text{ olur.}\\n_1=0\text{ ise },n_3\in\{0,1,2,3,4,5\}\text{ olabilir ve } S\in\{10,11,12,13,14,15\}\text{ olur.}$$ O halde, $S\in\{5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15\}$ değerlerini alabilir ve toplam $11$ tanedir.

11, Aralık, 2017 Deniz Tuna Yalçın (895 puan) tarafından  cevaplandı
...