Tam kare problemi - Matematik Kafası

Tam kare problemi

0 beğenilme 0 beğenilmeme
146 kez görüntülendi

PROBLEM 1:

$a$ ve $b$ pozitif tamsayılar olsun. $ab+1$ sayısı $a^2 + b^2$ sayısını kalansız bölsün. Bu durumda

                                                                 $\dfrac {a^2 + b^2} {ab+1} $

ifadesi tam kare olur. Gösteriniz !

ÇÖZÜM :

$k$ tam kare olmayan bir tamsayı olsun.

$a^2 + b^2 = k(ab+1)$ şeklinde yazarsak $a^2 - kab + b^2 - k = 0$ olup ikinci dereceden bir ifade olur. $b$ yi sabit olarak düşünebiliriz. Şimdi sorudaki eşitliği sağlayan ikililerden $a$ nın minimum olduğu durumu alalım ve bu ikiliye $(r,B)$ diyelim. Simetriden $r \geq B\geq0$. O halde $r$ bu denklemin köklerinden biri olur. Kökler toplamı $kb$ olduğundan diğer köke $r'$ dersek $r' = kb-r$ yazabiliriz. Buradan $r'$ sayısının bir tamsayı olduğu görülür. Kökler çarpımına bakacak olursak $r' = \dfrac {b^2-k} {r}$ olacaktır. Şimdi $r'>0$ olduğunu göstermeye çalışacağım. Eğer $r' = 0$ olursa $k=b^2$ olur ve baştaki kabulümüzle çelişir. O halde $r'$ sıfırdan farklı bir tamsayıdır. $r'$ sayısının negatif olduğunu iddia edelim. Bu durumda

                                      $(r')^2 - k.r'.B + B^2 - k > (r')^2 + k + B^2 - k > 0$

Olur ki bu da bir çelişkidir. O halde $r' > 0$ olur. Yani $(r',B)$ ikilisi denklemi sağlar ! Şimdi en heyecanlı yere geliyoruz.

$r^2 > B^2 - k$ , $r>B^2 - k / r $ ve  $r>r'$ !

Biz en başta $(r,B)$ için $r$ nin minimum olduğunu varsaymıştık. Ancak $r'<r$ ve $(r',B)$ denklemi sağlıyor. Çelişki ! O halde verilen ifade tamkaredir.

PROBLEM 2 :

Aynı soru için  $n>2$ tamsayı olmak üzere

                                                              $\dfrac {a^n + b^n} {(ab)^{n-1} +1} = k^n$

ifadesi doğru mudur ?

PROBLEM 3:

PROBLEM 1 deki metodu kullanarak

                                                             $\dfrac {(m+n)^2} {4m(m-n)^2 +4} $

ifadesinin tam kare olduğunu gösteriniz.

10, Ekim, 2017 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Dogukan633 (837 puan) tarafından  soruldu
10, Ekim, 2017 Dogukan633 tarafından düzenlendi

Selam Doğukan, birinci çözümde simetriden kastın ne tam olarak (simetrik kök mü)? Bunlar ikinci aşama sorusu mu? (Çözulebilirlik seviyesi ne tam olarak?)

Bir de kökler toplamının $ka$ olabilmesi için $b$ nin değişken $a$'nin sabit alınması gerekmez mi?

çözümlerden biri $(a,b)$ ise diğer $(b,a)$ olur. Yani $a$ ve $b$ nin yerini değiştirdiğimizde hiçbir sıkıntı çıkmıyor. O yüzden $a \geq b \geq 0$ kabulünü yapabilirim. Problem 1 imo 1988 in 6.sorusu. Problem 3 de Türkiye 2015 2.aşamanın 1.sorusu. Problem 1 in çözüldüğü şekilde problem 3 de çözülebilirse çok hoş şeyler olabilir. Ama çözülemeyebilir. Problem 2 de çözülemeyebilir. Eğer çözülemezse gerçekten çok üzülürüm. Çok güçlü bir metod bu.

Yo b sabit tutarsak a^2 - kba + b^2 - k :)

Edit: Aa evet şimdi anladım farketmiyor ama düzelteyim

Tamamdır çaktım durumu (without loss of generality diyorsun yani:)), ben "sabit" kelimesine takılmışım sonuç olarak ne demek istediğini anladım, ben uğraşayım bunlarla:))

Ben üniversite sınavı yüzünden uğraşacak zaman bulamıyorum valla ya :) Bu sorulara temiz 1 gün ayırmak lazım.

...