$p^2$ ile bölünebilme

0 beğenilme 0 beğenilmeme
105 kez görüntülendi

$p$ asal bir sayı olmak üzere $2,3..,p-2$ denklik sınıfları modül $p$ de ikişerli birbirlerinin tersleri olduğundan

                                                          $(p-1)! +1 \equiv 0 \pmod{p}$

Sonucuna ulaşırız. Peki bu denkliği

                                                          $(p-1)! +1 \equiv 0 \pmod{p^2}$

olarak düşünürsek ne olur ? Bunu sağlayan $p$ asalları nelerdir ? Örneğin $5$ için

                                                     $(5-1)! + 1 \equiv 25 \equiv 0 \pmod{5^2}$

Ancak $7$ için

                                                          $(7-1)! + 1 \not\equiv 0 \pmod{7^2}$

Benzer bir soru

http://matkafasi.com/194/asali-sayilari-icin-frac-frac-dots-frac-frac-ise-eger-ise-zaman

25, Eylül, 2017 Lisans Matematik kategorisinde Dogukan633 (835 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Burada bir makale var. Asagidakileri yazarken bir hatali dusuncemin oldugunu fark ettim ve yarim biraktim. Yazdiklarimin hepsinin dogru olmasi lazim (ufak bir yanlislik yoksa anlaminda). Makalede de bulunan sonucta buna benzer bir ifade elde edilmis. Muhtemelen asagidaki gozlem ile saglanmistir. (Makaleyi hatami nasil giderebilirim diye arastirirken buldum. Anladigim kadariyla soru su an icin acik bir problem). Cozmeye calisirken eglendim ama cozemedik iste...

__________________________


Ilk olarak sunu gozlemleyelim: $$-1 \equiv (p-1)! \equiv \left[1\cdot 2 \cdots \left(\frac{p-1}{2}\right)\right] \cdot \left[ \left(-\frac{p-1}{2} \right) \cdots (-2) \cdot (-1)\right]$$$$=(-1)^{(p-1)/2}\cdot \left[\left(\frac{p-1}{2}\right)!\right]^2 \mod p$$ olur. 

Eger $p\equiv 3 \mod 4$ ise $$ \left[\left(\frac{p-1}{2}\right)!\right]^2 \equiv 1 \mod p$$ olur ve dolayisiyla $$\left(\frac{p-1}{2}\right)!\equiv \pm1 \mod p$$ olur. ($p$ asal oldugundan $x^2-1$ polinomunun sadece iki koku var ve bunlar $\pm1$.)

Buradan sonra $$u=\left(\frac{p-1}{2}\right)!$$ olarak tanimlayalim. Cunku cok kullanacagiz.

Eger $$u\equiv 1 \mod p$$ ise $$p\mid (u-1)$$ yani $$p^2 \mid (u-1)^2$$ saglanir...

27, Eylül, 2017 Sercan (23,624 puan) tarafından  cevaplandı

Değerli cevabınız için çok teşekkürler. Matematik neden bu kadar güçsüz ki hocam bu basit ifadenin hangi asallar için sağlandığını gösteremiyoruz. En azından sayılar teorisi oldukça güçsüz.

Epey iyi teoremler var ama calismak ve kullanmayi ogrenmek lazim. Belki ileride bu problemin cevabini bulursun. (Belki de bulunmustur.. Makalenin tarihi biraz eski).

...