$(X,d_1),(X,d_2)$ metrik uzaylar ve $i:X\to X, i(x)=x$ olmak üzere $$d_1\overset{L}{\sim} d_2$$$$\Leftrightarrow$$$$(i, \ (d_1\text{-}d_2) \text{ Lipschitz sürekli})(i^{-1}=i, \ (d_2\text{-}d_1) \text{ Lipschitz sürekli})$$ olduğunu gösteriniz.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
45 kez görüntülendi

Aynı küme üzerinde tanımlı iki metriğin Lipschitz denk olması için gerek ve yeter koşul bu iki metrik uzay arasındaki birim fonksiyon ile bu birim fonksiyonun tersinin (inversinin) Lipschitz sürekli olmasıdır.

24, Eylül, 2017 Lisans Matematik kategorisinde murad.ozkoc (9,392 puan) tarafından  soruldu
13, Mayıs, 13 murad.ozkoc tarafından düzenlendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
$(\Rightarrow): \ d_1\overset{L}{\sim} d_2$ olsun.
$------------------------------------$
(Amacımız  $i$  birim (özdeşlik) fonksiyonunun $(d_1\text{-}d_2)$ ve $(d_2\text{-}d_1)$ Lipschitz sürekli olduğunu yani $$(\exists k_1>0)(\forall x\in X)(\forall a\in X)(d_2(i(x),i(a))\leq k_1 \cdot d_1(x,a))$$
ve
$$(\exists k_2>0)(\forall x\in X)(\forall a\in X)(d_1(i(x),i(a))\leq k_2\cdot d_2(x,a))$$ önermelerinini doğru olduğunu göstermek.)
$------------------------------------$
$\left.\begin{array}{rr}d_1\overset{L}{\sim} d_2\Rightarrow (\exists \lambda,\mu>0)(\forall x\in X)(\forall a\in X)(\lambda \cdot d_1(x,a)\leq d_2(x,a)\leq \mu \cdot d_1(x,a)) \\ \\ k_1:=\mu\end{array}\right\}\Rightarrow $

$\Rightarrow (\exists k_1 >0)(\forall x\in X)(\forall a\in X)(d_2(i(x),i(a))= d_2(x,a)\leq k_1 \cdot d_1(x,a)).$

O halde $i$ fonksiyonu $(d_1\text{-}d_2)$ Lipschitz süreklidir.

$\left.\begin{array}{rr}d_1\overset{L}{\sim} d_2\Rightarrow (\exists \lambda,\mu>0)(\forall x\in X)(\forall a\in X)(\lambda \cdot d_1(x,a)\leq d_2(x,a)\leq \mu \cdot d_1(x,a)) \\ \\ k_2:=\frac1{\lambda}\end{array}\right\}\Rightarrow $

$\Rightarrow (\exists k_2>0)(\forall x\in X)(\forall a\in X)(d_1(i(x),i(a))= d_1(x,a)\leq k_2 \cdot d_2(x,a)).$

O halde $i$ fonksiyonu $(d_2\text{-}d_1)$ Lipschitz süreklidir.

$(\Leftarrow): \ i, \ (d_1\text{-}d_2)$ ve $(d_2\text{-}d_1)$ Lipschitz sürekli olsun.

$\left.\begin{array}{rr} i, \ (d_1\text{-}d_2) \text{ Lipschitz sürekli}\Rightarrow (\exists k_1>0)(\forall x\in X)(\forall a\in X)(d_2(i(x),i(a))\leq k_1 \cdot d_1(x,a)) \\ \\   i, \ (d_2\text{-}d_1) \text{ Lipschitz sürekli}\Rightarrow (\exists k_2>0)(\forall x\in X)(\forall a\in X)(d_1(i(x),i(a))\leq k_2 \cdot d_2(x,a))\\ \\ \left(\lambda :=\frac{1}{k_2}\right)(\mu:= k_1) \end{array}\right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow (\lambda, \mu>0)(\forall x\in X)(\forall a\in X)(\lambda\cdot d_1(x,a)\leq d_2(i(x),i(a))=d_2(x,a)\leq \mu \cdot d_1(x,a)).$
 
6, Mayıs, 6 murad.ozkoc (9,392 puan) tarafından  cevaplandı
13, Mayıs, 13 murad.ozkoc tarafından düzenlendi
...