Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.3k kez görüntülendi

$P(x)= x^4 - ax^3 + bx + c$ polinomu $(x-1)^3$ ile tam bölünebiliyorsa $a+b+c$ kaçtır? 


(x-1)^2 deseydi birinci türevini alıp 0a eşitlerdim ama küpü dediğinde napılır bilmiyorum

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (19 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.3k kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

(1) Kokler carpimi $c$ oldugundan diger kokun $c$ oldugunu goruruz. Bu durumda polinom: $$(x-1)^3(x-c)=x^4-(c+3)x^3+(3c+3)x^2-(3c+1)x+c$$ olur. $x^2$'nin kat sayisindan $c=-1$ bulunur.  $a$ ve $b$ de buradan bulunur.

(2) Direkt $x^2$ kat sayisiyla da ilgilenebilirdik: ($x_1=x_2=x_3=1$ ve $x_4=c$) $$0=x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=3+3c$$ olurdu.

(3) Kendisi, turevi ve ikinci turevi $x-1$ ile bolunmeli. Bu durumda $$1-a+b+c=0$$ $$4-3a+b=0$$ $$12-6a=0$$ denklemlerini cozmemiz gerekir. Buradan $$a=2, \;\;\; b=2,\;\;\; c=-1$$ gelir.

Bunun sebebini gormek zor degil. 

$g$ iki kere turevlenebilen bir fonksiyon ve $f(x)=(x-1)^3g(x)$ olsun. Bu durumda $$f^\prime(x)=3(x-1)^2g(x)+(x-1)^3g^\prime(x)$$ ve $$f^{\prime\prime}(x)=6(x-1)g(x)+3(x-1)^2g^\prime(x)+3(x-1)^2g^\prime(x)+(x-1)^3g^{\prime\prime}(x)$$ olur.  Goruldugu uzere her terimde $x-1$ mevcut.


Bu fikir ile tumevarim kullanarak "$n$ pozitif tam sayisi icin $g$ fonksiyonu $n$  kere turevlenebilen bir fonksiyon ve $f(x)=(x-1)^ng(x)$ olsun." seklinde benzerini de ispatlayabiliriz.

(25.3k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Teşekkürler ilk yöntem aklıma gelmemişti :)

Olur oyle. Son yontemi bilince sanki onu kullanmamiz gerekiyormus gibi gelir.

20,200 soru
21,726 cevap
73,275 yorum
1,887,800 kullanıcı