Karmaşık sayılar kümesi ile $\mathbb{R^2}$ (düzlem) arasında birebir ve örten bir fonksiyon daima var mıdır?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
78 kez görüntülendi

Eğer  $f:\mathbb{C}\to \mathbb{R}$  fonksiyonu her $z=a+b.i\in \mathbb{C}$ için $f(z)=\{(a,b)\}$ olarak tanımlanırsa,bu fonksiyon daima birebir ve örtendir.

Bir karmaşık sayıyı; $i=\sqrt{-1}$ sanal birim ve $a,b\in \mathbb{R}$  olmak üzere $a+b.i=z$ şeklinde yazmamızı, düzlemin her $(a,b)$ noktası ile $a+b.i=z $ karmaşık sayısını eşlediğimizi  ve her $z=a+b.i$ karmaşık sayısı  ile de düzlemin $(a,b)$ noktasını birebir ve örten olarak eşlediğimizi düşünüyorum. 

1) Her $$z_1=a_1+b_1.i,\quad z_2=a_2+b_2.i \in \mathbb{C}$$ için $$f(z_1)=f(z_2)=f(a_1+b_1.i)=f(a_2+b_2.i)$$

$$\{(a_1,b_1)\}=\{(a_2,b_2)\} \Rightarrow a_1=a_2,\quad b_1=b_2$$

2) Herhangi bir $\{(a,b)\}$ noktası için daima $z=a+b.i$ şeklinde bir karmaşık sayı yazılır.

Dolayısıyla $\mathbb{C}=\mathbb{R^2}$ dir diyebiliriz.


Bu düşünüşün yanlış olan yeri var mı? Daha güzel ve doğru yaklaşım nedir? Eleştiriler,düzeltmeler, eklemeler bekleniyor...

25, Ağustos, 2017 Serbest kategorisinde Mehmet Toktaş (18,474 puan) tarafından  soruldu

Bu yazdığınız fonksiyon, birebir ve örten olmanın yanısıra bu kümeler üzerinde yer alan toplama işlemine (ve reel sayılarla çarpma işlemine) de saygı duyuyor. Yani bir lineer dönüşüm. 

Toplama ve carpmayi su sekilde tanimlayabiliriz:$$(a,b)+(x,y):=(a+x,b+y),$$ $$(a,b)\cdot (x,y):=(ax-by,ay+bx).$$

Hocam  $f $  nin deger  kumesi  $\mathbb{R^2}$  olmali.


Hatta  genel  olarak  $\mathbb{C^m}\cong\mathbb {R^{2m}}$   yazılabilir. 

...