Sıfırdan farklı her $z$ karmaşık sayısının iki karekökü vardır .

0 beğenilme 0 beğenilmeme
63 kez görüntülendi

Kitaptaki not'u aktarıyorum.

  • Sıfırdan farklı her$z$ karmaşık sayısının iki karekökü vardır.$z$ karmaşık sayısının $z_{1}$ ve $z_{2}$ karekökleri için ; $z_{1}$=-$z_{2}$ ( kareköklerinden birin, diğerinin toplama işlemine göre tersidir.)
    İfadesi yer alıyor.Yani benim anladığım $z_{1}$+$z_{2}$=$0$ demek ki.

O halde $z_{1}$ ve $z_{2}$ bir $z$ karmaşık sayısının iki kökü olmak üzere;

$z_{1}$=$\sqrt {2}cis45$ ve $z_{2}$=$\sqrt {2}cis135$ olsun.

Bu durumda sonuç $z_{1}$+$z_{2}$=$2i$ çıkıyor. 

$2i$$\not =$$0$ olduğuna göre....

Hata mı yapıyorum yoksa verilen bilgi mı yanlış ?

24, Ağustos, 2017 Lisans Matematik kategorisinde Emre1729 (38 puan) tarafından  soruldu
25, Ağustos, 2017 Emre1729 tarafından düzenlendi

45 den 135 i  nasıl buldunuz?

Hocam,hata bende özür dilerim.Açıları arasındaki artış miktarı 90 olan bi $z$ karmaşık sayısı yazmaya çalıştım.Grafikle yorumlayarak $y$=$|x|$ in grafiğine benzer bı şekil çizdim.Ama karekök diyince 2 kök bulunuyor sanırım. 90 diyemeyiz yani.

Örneğin ; $z$=$1+i$ karmaşık sayısının köklerini bulmaya çalışsak, kökler arasındaki fark 90 değil 180 oluyo yani $z_{1}$=$\sqrt{2}cis45$ $z_{2}$=$\sqrt{2}cis225$ oluyor ve toplamları da $0$ oluyo. Hatam varsa yine söylerseniz çok memnun olurum.

Yazdıklarını biraz açıklar mısın?


"Sıfırdan farklı herz $z$ karmaşık sayısının iki karekökü vardır. $z$ karmaşık sayısının $z_1$ ve $z_2$ karekökleri için ; $z_1=z_2$ ( kareköklerinden birin, diğerinin toplama işlemine göre tersidir.)"


yazmışsın. $z_1=z_2$ ise ve sıfırdan farklıysa, nasıl biri (birin değil) diğerinin toplama işlemine göre tersi oluyor?

$z_{1}$=-$z_{2}$ şeklinde düzelttim hocam, kitapta da böyle yazıyo.Teşekkür ederim.

Bir tane $z_1$ kökü varsa,ve bu kök $0$ değilse, $-z_1\neq z_1$ olur. Öte yandan $$(-z_1)^2=(-1)^2(z_1)^2=z_1^2$$ olacağı için, ilk kökün toplamsal tersi de ayrıca bir kök verir. Belki ikiden fazla karekök vardır ve sen başka bir karekökü almışsındır? Olabilir mi acaba böyle bir şey?

Evet hocam dediğiniz doğru,mesela $z^{4}$=$1+i$ desek bunun kökleri $z_{0}$=$1+i$,$z_{1}$=$-1+i$,$z_{2}$=$-1-i$,$z_{3}$=$1-i$ şeklinde bulunur. Burada bakılacak olursa $z_{0}$=-$z_{3}$ ve $z_{1}$=-$z_{2}$ olur.Sizin dediğiniz de bu sanırım.

...