Biçimsel Kuvvet Serileri İle İlgili

0 beğenilme 0 beğenilmeme
77 kez görüntülendi

$1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots$ şeklinde giden bir biçimsel kuvvet serisini tersinir polinomu $1-x$ ile çarpıp böldüğümde $\dfrac{1}{1-x}$ elde ediyorum. Ancak başka bir bilgi kullanarak yazacak olursam 

$\dfrac{1-x^{\infty}}{1-x}$ sonucuna ulaşıyorum ve $-1<x<1$ için $x^{\infty}$'nin $0$ olacağının farkındayım ama tersinir polinom ile çarpıp böldüğümde $x^{\infty}$'nin $0$ olduğu sonucuna ulaşıyorum. $x$ için $-1<x<1$ gibi bir şart koymamış olmama rağmen, bunun sebebi nedir? Acaba sayıların $\infty$'uncu kuvvetiyle ilgili bilmediğim bir durum mu var?

21, Ağustos, 2017 Lisans Matematik kategorisinde Deniz Tuna Yalçın (895 puan) tarafından  soruldu
3, Eylül, 2017 Deniz Tuna Yalçın tarafından yeniden gösterildi
Soru başlığında belirttiğin gibi bunlar biçimsel nesneler. $x$ de bir sayı değil.

Ideal nedir biliyor musun? $x^\infty$ ile gösterdiğin şeyin sıfır olmasını, $$\bigcap_{n=1}^\infty (x^n)$$ kesişim idealinde sıfırdan başka eleman olmaması ile açıklayabilirsin.

Çok az biliyorum hocam, kesişim idealini biraz açabilir misiniz?

$$(1-x)(1+x+x^2+\cdots)=1+\sum_{n=1}^\infty a_nx^n$$ olarak dusunerek su soruyu soralim $n>1$ icin $a_n$ degeri ne olur. 

$0$ olur çünkü  aynı üsse sahip terimler en yüksek dereceli terime kadar $0$ katsayısı alır sabit terim dışında (zaten onu dışarı almışsınız). Eğer sonsuza kadar gidiyorsa da en yüksek dereceli terim var olamayacağı için  $a_n$ değeri sıfır olur. Sanırım ben sorunumu anladım $x$ ı önce nesne kabul edip daha sonra ama şu sayı olsa böyle olmaz mıydı gibi yaklaşmışım $x$ zaten bir sayı belirtmiyordu. Yorumlarınız için teşekkür ederim:)

...