$\mathbb{F}_{2^m}$ uzerinde $f_b(x)=x^3+x+b$ polinomu

0 beğenilme 0 beğenilmeme
112 kez görüntülendi

$f_b(x)=x^3+x+b$ olarak tanimlayalim, $b \in \mathbb{F}_{2^m}^*$, $m$ tek.  (cevap cift $m$'leri de kapsiyor).


$M_i= \# \{b \in \mathbb{F}_{2^m}^* | f_b \: \textit{tam olarak $i$ koku var}\}$


oyleyse ($n=2^m$)

$ M_0=(n+1)/3$,

 $M_1=(n-2)/2$,

 $M_3=(n-2)/6$

oldugunu gosteriniz.

Ise yaraliligi icin: bir kac makalede ise yaradigini gordum, hatta su an benim de isime yaradi. O nedenle ise yariyor diyebilirim. Bu aciklamami kendim okurken bile kusasim geldi ama boyle. Diyebileceklerim bu kadar. 

17, Şubat, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Sercan (23,218 puan) tarafından  soruldu
9, Aralık, 2015 Sercan tarafından düzenlendi

iki çok gıcık biliyorsun değil mi?

i çözüme sahip derken i kökü var demek istiyorsun değil mi

Evet, kök. Arf invariant diye bir şey var ama makalelerde görünce mutlu oluyorum :) küçücük boyuyla çogu teoremde ispatlanamıyor, çogunda da ayrı durum :)

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Neredeyse bir sene once sordugum soru. Hem tek hem cift icin cevap yazacagim.

$f_b$ polinomunun turevi $x^2+1$. Tek koku $1$. Bu nedene $x=1$ kok oldugu zaman $f_b$ polinomumuz cift katli kok icerir. Fakat $x=1$ sadece $b=0$ icin kok teskil ediyor, bu da olmayan bir durum. $b=0$ iken diger kok de $0$ olur.

Yukaridaki baslangictan sonra $F^{\times\times} :=\mathbb F_{2^m}\backslash\{0,1\}$ olarak tanimlayalim. Eger $a,c \in F^{\times\times}$ elemanlari $f_b$ polinomunun farkli kokleri olsun. Bu durumda $$(a+c)(c^2+ac+(a^2+1))=0$$ olur. $a \ne c$ oldugundan $$c^2+ac+(a^2+1)=0$$ olur. Bu da (link) $tr_{1,m}(\frac{a^2+1}{a^2})=0$ olmali demek.  Yani $tr_{1,m}(1/a)=tr_{1,m}(1)$ olmali. 

$a\to 1/a$ fonksiyonu $F^{\times\times}$ uzerinde bir permutasyon ve $tr_{1,m}$ lineer fonksiyonu $\mathbb F_{2^m}$ elemanlarinin yarisini $0$'a, yarisini da $1$'e goturuyor. 

Bu nedenle $$M_3=[2^{m-1}-\#\{x \in \{0,1\} \: | \: tr_{1,m}(x) = tr_{1,m}(1)\}]/3,$$ $$M_1=(2^m-2)-3M_3,$$ ve $$M_0=(2^m-1)-M_3-M_1$$ olur. Yani $m$ tek ise $$(M_3,M_1,M_0)=\big(\frac{2^{m-1}-1}{3},2^{m-1}-1,\frac{2^m+1}{3}\big)$$ olur ve $m$ cift ise $$(M_3,M_1,M_0)=\big(\frac{2^{m-1}-2}{3},2^{m-1},\frac{2^m-1}{3}\big)$$ olur.
9, Aralık, 2015 Sercan (23,218 puan) tarafından  cevaplandı
...