Sayilara kume olarak davranmak: $0 \subseteq \emptyset$ ya da $2 \subseteq A$ gibi durumlar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
93 kez görüntülendi

$0 \subseteq \emptyset$ durumu:
Dogal sayilari kumelerle belirttigimizde $$0=\emptyset$$ olur ve $$\emptyset \subseteq \emptyset$$ oldugundan $$0=\emptyset  \subseteq \emptyset$$ saglanir.


$2 \subseteq A$ durumu:
Yine $2$ dogal sayisini bir kume olarak gorursek $$2=\{0,1\}=\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$$ olur. Ornegin, $$A=\{0,1\}$$ olarak bize verilirse bu aslinda $$A=2$$ demek olur ve dolayisiyla $$2=2\subseteq 2 =A$$ saglanir. 

Buradan su cikar:
$2 \subseteq A$ olamaz demek icin `$2$ bir eleman olabilir, kume degildir' demek hatali olur. Zaten $$2=\{0,1\}=\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$$ olarak yazarken de, alenen, kume olarak davrandik.

Soru:
Peki sayilara her zaman kume olarak davranmali miyiz?  `$2$ bir eleman olabilir, kume degildir'  diyebilecegimiz ve dogru olabilecek bir ortam var midir? Bundan ziyade $$c\subseteq \{a,b\}$$ gibi daha genel durumlarda bu cumlenin dogru olup olamayacagini anlamamiz icin ek bilgilere ihtiyac duyacak miyiz? 

7, Temmuz, 2017 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Sercan (23,839 puan) tarafından  soruldu

Kategoriyi daha hakim birisi degistirebilir. Anlasilabilirlik seviyesi olarak su an orta ogretimsel duruyor.

Peki sayılara her zaman küme olarak davranmalı mıyız?

Hayır. Çünkü gerek yok.

O soru bu cumle ile de baglantiliydi. " `$2$ bir eleman olabilir, kume degildir'  diyebilecegimiz ve dogru olabilecek bir ortam var midir?"

Neden gerek yok?

Iki elemanlı bir kümeye 2 dedin. Sonra bunu sayı olan 2 ile özdeşleştirdin. Benim itirazım şu: bunu yapmana gerek yok. Doğal sayıları böyle tanımlamana gerek yok. Dolayısıyla "2 bir eleman olabilir, küme değildir" cümlesine verecek bir cevap bulamıyorum ben.

Eger kumelerde (-kuraminda) $2$ boyle tanimlaniyorsa boyle davranmam gerekmez mi?

Yaptığın şey sayı olan $2$'yi tanımlamak değil diyorum ben de. Kümeler kuramı dersinde öğrendiğimiz şey doğal sayıları ve aritmetiği kümelerin dünyasına nasıl taşıyabileceğimiz. Senin yaptığın da iki elemanlı bir kümeye $2$ diyip, bunu sayı olan $2$ ile özdeşleştirmek.

Sayılara küme olarak davranmıyorsun. Kümelere sayı olarak davranıyorsun.

Genel olarak once tanima bakariz, verilen tanimlar ne ise ona gore islemlerimizi yapariz. Fakat bu dedigim soru genel, tanimlar verilmeden de sorulabilecek soru. Diyelim ki bir orta okul/lise ogrencisi geldi dedi ki $2\subseteq\{0,1\}$ ya da $2\subseteq\{0,2\}$ dogru mu degil mi? Bunu nasil cevaplamam gerektigini bilmiyorum. 

Çemberin temel grubunun tam sayılara izomorf olduğunu biliyoruz. Bir ortaöğretim öğrencisi gelip sayılara çember üzerinde eğriler gibi mi davranmalıyız derse ne dersin?
Her bildigini asagiya indirme gibi bir mana anliyorum buradan. Haklisin. 

Sorumun (kendi yonumden) anlasirligini cozmus olabilirim. Asagidaki linkte diyor ki: Zermelo Kume Teorisinde (1908) kume olmayan elemanlar vardi (aynen ilk baslar ogrendigimiz uzere) fakat aksiomatikte gerek kalmadi.

https://en.wikipedia.org/wiki/Urelement#Urelements_in_set_theory

Su an kendimi fikren tatmin olmus hissediyorum. Zaten sayilara kume gibi davranmaktan uzak durmak istiyordum. Bunu ortaogretim ogrencisine yukaridaki gibi anlatmak zor/gereksiz/agir olabilir/olur. 

- Aksiyomatik Kume Kuraminda isler yukaridaki gibi
- Diger Turlu sayilar kume olmayan nesneler

Her bildiğini aşağı indirme demek istemedim yahu. Sadece birinin diğerinden daha doğal olmadığına vurgu yapmak istemiştim. 

Her şeyi kümeler kuramı üzerinden kurmak zorunda değiliz.


1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Doğal sayı tanımını vererek başlayalım. Kardinal sayıları bildiğimizi varsayıyorum.

Tanım: Tüm boş olmayan sonlu kümelerin $\mathcal{A}$ ailesinde birebir eşleme denklik bağıntısı $\beta$'nın oluşturduğu denklik sınıflarının her birine bir doğal sayı denir. Tüm denklik sınıflarının (doğal sayıların) oluşturduğu $\mathcal{A}/\beta$ bölüm (oran) kümesine de doğal sayılar kümesi denir. Biçimsel olarak şöyle yazabiliriz.

$$\mathcal{A}:=\{A|0<|A|<\aleph_0\}$$ olmak üzere

$$\beta=\{(A,B)|(A,B\in \mathcal{A})(\exists f:A\to B \text{ bijektif})\}\subseteq \mathcal{A}\times \mathcal{A}$$ bağıntısı, $\mathcal{A}$'da bir denklik bağıntısıdır. Bu denklik bağıntısına göre oluşan 

$$[A]:=\{B|(A,B)\in\beta\}$$ denklik sınıfına bir doğal sayı;

$$\mathcal{A}/\beta :=\{[A]| A\in \mathcal{A}\}$$ bölüm (oran) kümesine de doğal sayılar kümesi denir. Bu durumda $$[\{\emptyset\}]$$ denklik sınıfı $$1$$ sembolü ile gösterilir ve adına "bir" denir. Buna İngilizler "one", Almanlar "eins", Acemler "yek" demiş. Benzer şekilde

$$[\{\emptyset,\{\emptyset\}\}]$$ denklik sınıfı $$2$$ sembolü ile gösterilir ve adına "iki" denir. Buna da İngilizler "two", Almanlar "zwei", Acemler "Dü" demiş. Yine benzer şekilde

$$[\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}]$$ denklik sınıfı $$3$$ sembolü ile gösterilir ve adına "üç" denir. Buna da İngilizler "three", Almanlar "drei", Acemler "se" demiş.

$$\vdots$$

Son olarak $$\mathcal{A}/\beta$$ (bölüm) oran kümesi yerine de $$\mathbb{N}$$ gösterimi kullanılmış ve adına doğal sayılar kümesi denmiş.

Yukarıda ifade ettiğimiz tüm bu anlaşmalardan sonra

$$\mathcal{A}/\beta:=\{[\{\emptyset\}],[\{\emptyset,\{\emptyset\}\}],[\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}],\dots \}$$ yerine daha sade ve ekonomik olması hasebiyle $$\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}$$ gösterimi kullanılagelmiştir. 

Tüm bu yazılanların kafanızdaki soru işaretlerini -bir nebze olsun- kaldırmıştır diye düşünüyorum.  

8, Temmuz, 2017 murad.ozkoc (8,972 puan) tarafından  cevaplandı
Hayir gidermedi. Bu cevap dogal sayilarla ilgili olmus (gibi geldi bana).

" `$2$ bir eleman olabilir, kume degildir'  diyebilecegimiz ve dogru olabilecek bir ortam var midir?" ve bir sonraki baglantili soruya cevap alamadim.

Benzer şeyleri tamsayılar, rasyonel sayılar ve gerçel sayılar ile de söylemek mümkün. Ben sadece doğal sayılar ile ilgili olanını yazdım. Bir ara tamsayılar ile ilgili olanını da yazarım.

Sorum sayilarin insasi vs gibi degil, belki tam anlatamamis olabilirim soruda emin degilim. Sorum (kumeler kuraminda) sayilara `her zaman' kume olarak davranmali miyiz? ya da davranmazsak ne olur.

"1" dediğimiz şey tek elemanlı bir kümenin denklik sınıfı yani

$$1:=[\{\emptyset\}]=\{\{\emptyset\},\{\{\emptyset\}\},\{\{\{\emptyset\}\}\},\ldots\}$$

Dolayısıyla sayılara birer küme gözüyle bakabiliriz. Her sayı bir kümedir diyebiliriz.Senin sorunda ifade ettiğin yaklaşım Kurt Gödel'in benimsediği bir yaklaşım. O da belirli kümelere isim vermek suretiyle doğal sayıları inşa etmiş. Mesela aritmetik yapmak istiyorsak Peano'nun yaklaşımıyla doğal sayıları inşa etmek daha iyi olabilir.

...