$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $\mathcal{A}:=\{A|A, \ \tau\text{-kompakt}\}$ olmak üzere $$(\mathcal{B}\subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{B}|<\aleph_0)\Rightarrow \cup\mathcal{B}\in\mathcal{A}$$ olduğunu gösteriniz.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
17 kez görüntülendi

Yani herhangi bir topolojik uzayda sonlu sayıdaki kompakt kümenin birleşiminin yine bir kompakt küme olduğunu gösteriniz.

4, Temmuz, 2017 Lisans Matematik kategorisinde murad.ozkoc (8,874 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$\mathcal{S}\subseteq \tau$ ve $\cup\mathcal{B}\subseteq \cup\mathcal{S}$ yani $\mathcal{S}$ ailesi,  $\cup\mathcal{B}$ kümesinin bir $\tau$-açık örtüsü olsun.


$\left.\begin{array}{r} (\mathcal{S}\subseteq\tau)(\cup\mathcal{B}\subseteq \cup\mathcal{S}) \\  \\ B\in\mathcal{B}\subseteq\mathcal{A} \end{array} \right\}\Rightarrow (B\in\mathcal{A})(\mathcal{S}\subseteq\tau)(B\subseteq\cup \mathcal{B} \subseteq \cup \mathcal{S} )$


$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow (\exists\mathcal{S}^*_B\subseteq \mathcal{S})(|\mathcal{S}^*_B|<\aleph_0)(B\subseteq \bigcup \mathcal{S}^*_B)  \\  \\ (|\mathcal{B}|<\aleph_0)(\mathcal{S}^*:=\bigcup_{B\in\mathcal{B}}  \mathcal{S}^*_B) \end{array}\right\}\Rightarrow (\mathcal{S}^*\subseteq \mathcal{S})(|\mathcal{S}^*|\overset{?}{<}\aleph_0)(\cup\mathcal{B} \subseteq \cup\mathcal{S}^*) \Big{/} \cup\mathcal{B}\in \mathcal{A}.$


Not: Soru işaretinin gerekçesine buradan ulaşabilirsiniz.

18, Temmuz, 2017 murad.ozkoc (8,874 puan) tarafından  cevaplandı
19, Temmuz, 2017 murad.ozkoc tarafından düzenlendi
...