Siklotomik Polinomlarin $\mathbb Q$ uzerinde indirgenemez olmasi

0 beğenilme 0 beğenilmeme
164 kez görüntülendi

Ilgili soru ile alakali...



Siklotomik Polinomlarin $\mathbb Q$ uzerinde indirgenemez oldugunu gosteriniz (aslinda daha genis bir teorem de ispatlanabilir) ve (basit bir ek soru olarak) sonlu (ve asal sayida elemanli) cisimlerde bariz olmayan indirgenebilen bir ornek veriniz. 

Bariz olan ornek: $\Phi_p(1)=p\equiv 0 \mod p$ olur. Zaten $p$'nin kati olan kuvvetlerde $p$'yi disa atabiliriz.

Bariz olmayan olarak: $p\not \mid n$ olan bir ornek.

30, Haziran, 30 Akademik Matematik kategorisinde Sercan (22,903 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Bu soru dişime göre :D

Önce siklotomik (bu kelimeye Türkçe bir karşılık bulmak gerek. tomic, atomic'den geliyor, döngüsel genişlemeleri verdiği için atom of cyclics gibi bir düşünceyle bu ad verilmiş olabilir. Siklotomik kelimesini Türkçe gibi düşünmeye ya da davranmaya gönlüm el vermiyor) polinomun tanımını verelim. $n\geq 1$ olsun ve $\zeta$ da $\mathbb{C}$ içinde $1$'in herhangi bir primitif kökü olsun: $e^{j\frac{2\pi i}{n}}$, $(j,n)=1$ gibi bir şey yani. Bu durumda $\Phi_n$ şöyle tanımlanır:

$$\Phi_n=\prod_{j\in(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}}X-\zeta^j$$

Büyük İddia: $\Phi_n$ polinomu, $\zeta$'nın minimal polinomudur. Yani $\mathbb{Q}[X]$'den $\mathbb{Q}$'ya giden $$e_{\zeta}:f(X)\longmapsto f(\zeta)$$ halka homomorfizmasının çekirdeğinin üretecidir. 


Bu iddia doğruysa, elimize $$\mathbb{Q}[X]/(\Phi_n)=\mathbb{Q}[X]/\ker e_{\zeta}\simeq \mathbb{Q}$$ izomorfizması geçer, bu da $\Phi_n$'nin gerdiği idealin bir maksimal ideal olduğunu, doğal olarak da (O kadar da doğal değil ama neyse ki bir tek üreteç bölgesindeyiz) $\Phi_n$'nin indirgenemez olduğunu buluruz.


O halde iş iddiayı kanıtlamaya kaldı. 

Cücük iddia: $F:=\mathbb{Q}[\zeta]$ içinde $X^n-1$ polinomunun bütün kökleri vardır.

İspat: Gereksiz.


Cücük iddiadan çıkan sonuç, $F$'nin $X^n-1$ polinomunun parçalanış cismi olduğudur. Demek ki $F/\mathbb{Q}$ bir Galois genişlemesi (karakteristik sıfır olduğu için böyle ahanda Galois dedik.). Hadi bu genişlemenin Galois grubuna $G$ diyelim.

Güççük iddia: $G\simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$.

Güççük ispat: $\sigma\in G$ olsun. Dikkat edilirse $\zeta$'nın gittiği $\sigma(\zeta)$'yı bilirsek $\sigma$ neymiş biliriz, çünkü her şey $\zeta$ ve $\mathbb{Q}$ cinsinden yazılabiliyor. Eğer $(j,n)=1$ ise $\zeta\longmapsto \zeta^j$ kuralı $G$'nin bir elemanını, $\sigma_j$ diyelim, verir. Açık ki $\sigma_j\circ\sigma_l=\sigma_{j\cdot l}$. O halde $j\longmapsto \sigma_j$ ile $$ (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}\longrightarrow G$$ biçiminde bir homomorfizma tanımladık. $\zeta$ elemanı $\zeta$'ya gitmedikçe $\sigma_j\neq id\in G$ olacağı için bu homomorfizma birebirdir. Öte yandan, $\sigma\in G$ otomorfizması $X^n-1$ polinomunun köklerini yine kendisine götürüyor. Ama bu polinomun kökleri döngüsel bir grup. O halde $\sigma$ bu grubun bir üretecini yine bu grubun üretecine götürmeli, çünkü bu gruubun da bir otomorfizması çarpmaya saygı duyduğu için. Bu demektir ki, $\sigma$ yukarıdaki $\sigma_j$ formatında olmalı. Yani az önce tanımladığımız homomorfizma $G$'yi örtüyor. Böylece güççük iddiayı kanıtlamış olduk.


Sonuç: Demek ki $G$ grubu $\zeta$'yı alıp $\Phi_n$'nin bütün köklerine götürüyormuş. Yani $\Phi_n$'nin kökleri kümesi aslında $\zeta$'nın eşlenikleri kümesiymiş. Yani, Galois teori gereği, $\Phi_n$ indirgenemezmiş çünkü minimal polinom eşlenikleri kök kabul eden lineer polinomların çarpımıdır.


Biraz uzun oldu ama çok paslıyım ne yapalım. Kesin daha kısa çözümü vardır di mi Sercan?

30, Haziran, 30 Safak Ozden (3,379 puan) tarafından  cevaplandı

Farkli bir mantik yok bende.. minimal polinom oldugunu gostermek...

...