$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A\subseteq X$ olmak üzere $$((X,\tau), \text{ Hausdorff})(A, \,\ \tau\text{-kompakt})$$ $$\Rightarrow$$ $$A\in \mathcal{C}(X,\tau)$$ olduğunu gösteriniz.

Question

Hausdorff uzaylarında kompakt kümeler kapalıdır.

$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A\subseteq X$ olmak üzere $$((X,\tau), \text{ Hausdorff})(A, \,\ \tau\text{-kompakt küme})$$ $$\Rightarrow$$ $$A\in \mathcal{C}(X,\tau)$$ olduğunu gösteriniz.

Not: $\mathcal{C}(X,\tau):=\{F\subseteq X|F, \ \tau\text{-kapalı}\}$

Answer 1

$X\setminus A$ kümesinin $\tau$-açık olduğunu gösterirsek ispat biter. Bunun için de $X\setminus A$ kümesinin her noktasının bir iç nokta olduğunu göstermek gerekli ve yeterlidir.

$\left.\begin{array}{r} x\in X \setminus A \\ y\in A \end{array} \right\}\Rightarrow \begin{array}{c} \\ \\ \left. \begin{array}{cc} x\neq y  \\ \\ (X,\tau), \ T_2\end{array} \right\} \Rightarrow (\exists U_y\in\mathcal{U}(x))(\exists V_y\in\mathcal{U}(y))(U_y\cap V_y=\emptyset)\end{array}$

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow (\mathcal{A}:=\{V_y|y\in A\}\subseteq \tau)(A\subseteq\cup\mathcal{A}) \\ \\ A, \ \tau\text{-kompakt} \end{array}\right\}\Rightarrow$

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow (\exists\mathcal{A}^*\subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|<\aleph_0)(A\subseteq\cup \mathcal{A}^*) \\ \\ U:=\cap\{U_y|B\in \mathcal{A}^*\Rightarrow (\exists U_y\in\mathcal{U}(x))(U_y\cap B=\emptyset)\} \end{array}\right\}\Rightarrow (U\in\mathcal{U}(x))(U\subseteq X\setminus A)\Rightarrow x\in(X\setminus A)^{\circ}$

Buradan $$X\setminus A\subseteq (X\setminus A)^{\circ}\ldots (1)$$ elde edilir. Öte yandan $$(X\setminus A)^{\circ}\subseteq X\setminus A\ldots (2)$$ kapsaması daima geçerlidir.

$$(1),(2)\Rightarrow X\setminus A=(X\setminus A)^{\circ}\Rightarrow X\setminus A\in \tau\Rightarrow A\in \mathcal{C}(X,\tau).$$