$f\in Y^X$ ve $g,h\in X^Y$ olmak üzere $$(g\circ f=I_X)(f\circ h=I_Y)$$ $$\Rightarrow$$ $$g=h$$ olduğunu gösteriniz.

Question

Yani bir fonksiyonun hem sağ tersi hem de sol tersi var ise bunların birbirine eşit olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$$\mathcal{D}_g=\mathcal{D}_h=Y\ldots (1)$$ ve $$\mathcal{T}_g=\mathcal{T}_h=X\ldots (2)$$ yani $f$ fonksiyonunun tanım kümesi ile $g$ fonksiyonunun tanım kümesinin aynı ve $f$ fonksiyonunun hedef kümesi ile $g$ fonksiyonunun hedef kümesinin aynı olmasından dolayı bu iki fonksiyonun kurallarının da aynı olduğunu gösterirsek ispat biter.

$$x\in Y$$

$$\Rightarrow$$

$$g(x)$$

$$\overset{?}{=}$$

$$(g\circ I_Y)(x)$$

$$=$$

$$g(I_Y(x))$$

$$=$$

$$(g\circ(f\circ h))(x)$$ $$\overset{?}{=}$$ $$((g\circ f)\circ h)(x)$$ $$=$$ $$(I_X\circ h)(x)$$ $$=$$ $$I_X(h(x))$$ $$=$$ $$h(x)\ldots (3)$$

O halde

$$(1),(2),(3)\Rightarrow g=h$$ bulunur.

Soru işaretlerinin gerekçesi için aşağıdaki linkleri inceleyiniz.