Bir torbada $n$ kırmızı $n$ siyah top var. Torbadan, içinde kalan topların hepsi aynı renk olana kadar geri atılmamak koşluyla birer birer top çekiyoruz. Torbada kaç top kalmasını bekleriz?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
189 kez görüntülendi

Bir torbamız var. İçinde $n$ kırmızı $n$ siyah top var. Torbadan sırayla top çekiyoruz. Örneğin kırmızı çektik, artık torbada $n-1$ kırmızı $n$ siyah top kaldı. Bir tane daha çekiyoruz. Torbada hepsi aynı renk kalana kadar çekiyoruz. 

Örneğin $n-1$ kere top çektik, hepsi kırmızı geldi. Bir kez daha top çektiğimizde topun rengi yine kırmızı olursa duruyoruz ve oyun bitmiş oluyor. Torbada $n$ tane siyah top kaldı.

Ya da sırayla bir kırmızı bir siyah top çekip duruyoruz, bu sefer torbada en son 1 siyah top kalacaktır.

Soru şu : Torbada kaç top kalmasını beklersiniz?

Küçük $n$'ler için hesapladım,

$ n = 1 $ ise 1 top kalmasını bekleriz tabii ki.

$ n = 2 $ ise de 1 ve 

$ n = 3 $ ise $\frac{3}{2}$ top kalmasını bekleriz.

Şıklar da koyayım;

A) Belli bir sabit sayı tane.

B) Aşağı yukarı $log (n)$ tane.

C) Aşağı yukarı $\frac{n}{2}$ tane. 

D) Böyle bir sayı yoktur.

E) Hiçbiri, şu kadar : ...

Not: Kategori lisansla akademik arasında kaldım. Akademikte karar kıldım. Uzmanlar dilerse değiştirebilir.

Dipnot: Soruyu çözen olursa ikinci bir sorum var.

24, Mayıs, 24 Akademik Matematik kategorisinde Cagan Ozdemir (672 puan) tarafından  soruldu
24, Mayıs, 24 Cagan Ozdemir tarafından düzenlendi

Beklersiniz derken, matematiksel beklentiden söz ediyor olmalıyız sanırım. Yani, $n$ adet top var, bu oyunu çooooooook uzun süre tekrar tekrar oynuyoruz, kimisinde n/2, kimisinde 2n-1 top kalıyor ama biz bu sayıların ortalamasıyla ilgileniyoruz.

Aynen oyle Safak Hocam, yalniz $2n$ adet top var. $n$ kirmizi $n$ siyah.

En sonda $k$ tane siyah top kalsın diyelim. O zaman şöyle bir seriyi hesaplamak lazım sanırım: $$<k>=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n}\frac{(2n-k)!}{n!(n-k)!}$$ 

Nasıl buldunuz hocam?

Hatırlamam lâzım :) 

$k$ siyah top kaldığına göre, $n$ tane kırmızı torbadadır ve $n-k$ tane siyah da bu süreçte çekilmiş olur. 

Yani, $2n-k$ tane top var; $n$ tanesi kırmızı, $n-k$ tanesi siyah. Bu $2n-k$ topu kaç farklı şekilde sıralayabiliriz? Yukarıdaki seri bu sorunun cevabı. Yalnız, paydaya fazladan bir $n!$ koymuşum sanırım.

...