Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
374 kez görüntülendi

$(X,\tau_1),(Y,\tau_2)$ topolojik uzaylar olmak üzere

$$(A\subseteq X)(B\subseteq Y)\Rightarrow \overline{A\times B}=\overline{A}\times \overline{B}$$ olduğunu gösteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından  | 374 kez görüntülendi

Bu linkteki bilgiden faydalanabilirsiniz.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$\left.\begin{array}{rr} (A\subseteq X)(B\subseteq Y)\Rightarrow \left(A\subseteq\overline{A}\right)\left(B\subseteq \overline{B}\right)\Rightarrow A\times B\subseteq \overline{A}\times \overline{B}\Rightarrow \overline{A\times B}\subseteq \overline{\overline{A}\times \overline{B}} \\ (A\subseteq X)(B\subseteq Y)\Rightarrow \left(\overline{A}\in C(X)\right)\left(\overline{B}\in C(Y)\right)\overset{?}{\Rightarrow} \overline{A}\times \overline{B}\in C(X\times Y)\Rightarrow \overline{\overline{A}\times \overline{B}}=\overline{A}\times \overline{B} \end{array}\right\}\Rightarrow $

$\Rightarrow \overline{A\times B}\subseteq \overline{A}\times \overline{B} \ldots (1) $

$--------------------------------------$

$\left.\begin{array}{rr} \left.\begin{array}{rr} \pi_1:X\times Y\to X \,\ (\tau_1\star\tau_2\mbox{ - }\tau_1) \text{ sürekli} \\ (A\subseteq X)(B\subseteq Y)\Rightarrow A\times B\subseteq X\times Y\end{array}\right\}\Rightarrow \pi_1\left[\overline{A\times B}\right]\subseteq \overline{\pi_1[A\times B]}=\overline{A} \\ \\ \left.\begin{array}{rr} \pi_2:X\times Y\to Y \,\ (\tau_1\star\tau_2\mbox{ - }\tau_2) \text{ sürekli} \\ (A\subseteq X)(B\subseteq Y)\Rightarrow A\times B\subseteq X\times Y\end{array}\right\}\Rightarrow \pi_2\left[\overline{A\times B}\right]\subseteq \overline{\pi_2[A\times B]}=\overline{B} \end{array}\right\}\Rightarrow $

$\Rightarrow \overline{A\times B} \overset{?}{\subseteq}\pi_1\left[\overline{A\times B}\right]\times \pi_2\left[\overline{A\times B} \right]\subseteq \overline{A}  \times \overline{B} \ldots (2)$

$--------------------------------------$

$$(1),(2)\Rightarrow \overline{A\times B}=\overline{A}\times\overline{B}.$$

Not : Kanıttaki ilk soru işaretinin olduğu yerdeki geçişin gerekçesine buradaki linkten ulaşılabilir. Kanıttaki ikinci soru işaretinin olduğu yerdeki geçişin gerekçesine ise  buradaki linkten ulaşılabilir. 

(11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,200 soru
21,728 cevap
73,275 yorum
1,887,870 kullanıcı