Ötelenmiş polinomun katsayıları ile ilk polinomum katsayıları arasındaki baglantı

2 beğenilme 0 beğenilmeme
65 kez görüntülendi
$P(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i$ polinomumuz olsun. $a$ve $b$ sabitleri icin $P(ax+b)$ polinomunun katsayilarini $P(x)$ yardimi ile kolaycana bulabiliyor muyuz?

Aklima bir tek Taylor acilimi geldi ama o da uzun yani. Belki polinomlardan kurtulup olayi katsayilarin ic carpimina da getirebiliriz. Fakat bu da uzun olur gibi.

Istedigim en kisasi degil de, gercekten basit bir yontemin var olup olmadigini ogrenmek ilk asamada.

Ornegin su soruyu cevaplayabilir miyiz: $P(x)$ olsun yine. Su $a,b$ icin (belirledigimiz bir $i$ var) $x^i$'nin katsayisi sifir olur. (Sonlu cisim, sonsuz cisim, karakteristik vs onemli degil, genel soru).
2, Mayıs, 2 Serbest kategorisinde Sercan (23,213 puan) tarafından  soruldu

serbest?    

Matris yaklaşımıyla çabucak çözülebilir duruyor. Karaladım birşeyler ama toparlamak lâzım. 

Özet olarak; $ P_{n} $ polinomu, $ T=\alpha x+\beta $ dönüşümüne maruz kalıyor. $ T $'nin $ \{x^n,x^{n-1}, ..., 1\} $ bazına göre matris temsîli bulunur ve $$P_n=\left( \begin{array} \\ a_{n} \\ a_{n-1} \\ \vdots \\ a_0 \end{array}\right)$$  vektörüne uygulanır. 

Verilen dönüşüm altında $ T $'nin matris temsîli de hoşmuş bu arada. Toparlarsam, birkaç denemeden sonra, cevâbı yazmayı düşünüyorum.

Bu arada, bazı terimler LaTeX formuna neden dönüşmüyor anlamadım?!

Baz degisim matrisini bulmak gerek herhalde. Sonra da $P_n$ vektoru ile carpmak. Fakat bu da ayni karmasiklikta olmuyor mu? 

@Anil, kategoriyi kestiremedim. Bilen birisi kategoriyi degistirebilir. 
Eğer küçük derecelerde ne olduğunu anlayabilirsek, türev ve tümevarım kullanarak genelleştirebilir miyiz?

@Sercan, $T$'nin temsîli basit bir formda çıkıyor. Bu yüzden sanırım çok daha kolay. 

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

İş uzun gibi, fakat sonuç, rahatlıkla akılda tutulabilir ve pratik hesap yaparken kolaylıkla kullanılabilir. Şimdi,

$T$ bir lineer dönüşüm olsun. Polinomlar üzerinde çalışacağımız için, keyfî bir $n$ için $P_n$ polinomunu ele alalım:

$$P_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$$

Matris yaklaşımında $P_n$ matrisi katsayılarıyla aşağıdaki gibi temsîl edilir:

$$P_n \equiv \left(\begin{array}{c} a_n \\ a_{n-1} \\ \vdots \\ a_1 \\a_0 \end{array}\right)$$

$P_n$, $(n+1)\times 1$ boyutlu sütun matristir. Sıra, $T$ dönüşümünün temsîline geldi. Bunun için, $\mathcal{B}$ bazının herbir elemanının $T$ altında nasıl değiştiğini incelemeliyiz. Yâni, $k=0, ... , n$ için

$$T(x^k)=?$$

Bunun için $T$'nin belirlenmesi gerekiyor. Eğer soruda verilen 

$$T=: x\rightarrow\alpha x +\beta$$

operatörünü alırsak, Binom açılımı yardımıyla,

$$T(x^k)=(\alpha x +\beta)^k=\sum_{q=0}^{k}(\alpha x)^q \beta^{k-q}\left(\begin{array}{c} k \\ q \end{array}\right)$$

buluruz. Burada, herkesçe bilinen

$$\left(\begin{array}{c} k \\ q \end{array}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$yazımı kullanılmıştır. Elde ettiğimiz bu ifâde, yine $k$'yinci dereceden bir polinomdur. Dolayısıyla $T$, $\mathcal{B}$'nin boyutunu korumuştur. Dönüşüm sonucunda elde ettiğimiz bu polinomun katsayıları,

$$\alpha^q \beta^{k-q}\left(\begin{array}{c} k \\ q \end{array}\right),$$

$T$ operatmrünün matris temsîlinin $(n-k+1)$'yinci sütun, $(n+1-q)$'yuncu satır elemanını oluşturacaktır:

$$T_{n+1-q , n+1-k}=C_k^q. \tag{*}$$

Diğer bir deyişle, $k$'yinci dereceli terimin dönüşümü sonucu oluşan polinoma katkıda bulunan $q\leq k$ dereceli terimin katsayısını verecektir. Sıkça kullanacağımız için yukarıdaki denklemi $C_k^q$ kullanımıyla kısalttık. 

Tanımı îtibâriyle $T$ matrisi altüçgen matristir. Gerçekten, $q<k$ dereceli terime $q>k$ dereceli terimler katkı yapmayacaklar. Bu durum, $C_k^q$'nın tanımıyla uyuşmadığı için, tanımı şöyle düzeltebiliriz:

$$C_k^q = \left\{\begin{array}{c c} \alpha^q \beta^{k-q}\left(\begin{array}{c} k \\ q \end{array}\right) & q\leq k \\ &\\ 0 & q>k \end{array} \right.$$

Elde ettiklerimizi şimdi sonuçlandırabiliriz. Şimdi, $i=n+1-q$, $j=n+1-k$ kısaltmasıyla, $T$ dönüşümü altında $P_n$, $P'_n$'e dönüşür; yâni:

$$(P'_n)_i=T_{ij}(P_n)_j. \tag{**}$$

Burada $P$'ler sütun vektör olduklarından tek indis kullandık. 

Sonuç: Eğer $n+1$ boyutlu polinom vektör uzayındaysak ve eğer bir $P_n$ polinomu verildiyse, o halde $\alpha x+\beta$ dönüşümü altında, eski ve yeni polinomun katsayıları arasındaki ilişki Denklem (**)'daki gibi olacaktır. 

$\underline{n=0\hspace{15px} \mbox{durumu}}$

$n=0$ iken, $P_0=a_0$ sâbit teriminden ibâret olacaktır. $T$'yi türetelim. $n=0$ olduğundan, diğer tüm indisler $< 1$ değerleri alacaklardır. Bu durumda (*) denklemi

$$T_{1-q , 1-k}=C_k^q,$$

hâlini alır. Tabî ki $k, q\leq n$ sağlanır. O hâlde, $n=k=q=0$ eşitliği geçerlidir ve,

$$T_{1-q , 1-k}=T_{1,1}=C_0^0=1,$$

bulunur. Yani, beklendiği gibi, sâbit terimde herhangi bir değişim olmamaktadır.

$\underline{n=1\hspace{15px} \mbox{durumu}}$

Gelelim yine bâriz sayılabilecek bir duruma: $n=1.$ Bu durumda,

$$T_{2-q , 2-k}=C_k^q,$$

elde edilir. Terimleri $k, q=0,1$ için açacak olursak,

$$\left.\begin{array}{c c} T_{2 , 2}=C_0^0=1,\\ T_{2 , 1}=C_1^0=\beta,\\ T_{1 , 2}=C_0^1=0,\\ T_{1 , 1}=C_1^1=\alpha, \end{array}\right\}$$

Böylece, Denklem (**) kullanılarak,

$$\left.\begin{array}{c c c} (P'_1)_1=a'_1=T_{1,1}(P_2)_1+T_{1,2} P_2)_2=T_{1,1}a_1+T_{1,2}a_0&=&\alpha a_1,\\ (P'_1)_2=a'_0=T_{2,1} (P_2)_1+T_{2,2}(P_2)_2=T_{2,1}a_1+T_{2,2}a_0&=&\beta a_1+a_0 \end{array}\right\}$$ 

elde edilir ki doğrudan hesaplamayla,

$$a_1 x+a_0 \rightarrow a_1 (\alpha x+\beta)+a_0=\alpha a_1 x+(\beta a_1+a_0) $$

olduğu gerçeklenir.

$\underline{n=2\hspace{15px} \mbox{durumu}}$

Elle hesap işi gittikçe karışacak tabî ki; fakat son örnek de öğretici olacaktır. $n=2$ iken $k,q=0,1,2$ değerlerini alacaktır. Yine yukarıdakine benzer şekilde hesaplarsak, $T_{3-q , 3-k}=C_k^q,$ ile:

$$\left.\begin{array}{c c c} T_{3 , 3}=C_0^0&=&1,\\ T_{3 , 2}=C_1^0&=&\beta,\\ T_{3 , 1}=C_2^0&=&\beta^2,\\ T_{2 , 3}=C_0^1&=&0,\\ T_{2 , 2}=C_1^1&=&\alpha,\\ T_{2 , 1}=C_2^1&=&2\alpha \beta,\\ T_{1 , 3}=C_0^2&=&0,\\ T_{1 , 2}=C_1^2&=&0,\\ T_{1 , 1}=C_2^2&=&\alpha^2,\\ \end{array}\right\}$$

bulunur. Bu sefer daha az ayrıntıya girerek, yeni katsayılar bulunur:

$$\left.\begin{array}{c c c} a'_2&=&\alpha^2 a_2,\\ a'_1&=&2\alpha\beta a_2+\alpha a_1,\\ a'_0&=&\beta^2a_2+\beta a_1+a_0,\\ \end{array}\right\}$$

Bunu da elle hesaplarsak kolayca,

$$\left.\begin{array}{l l} a_2x^2+a_1 x+a_0\rightarrow\\   a_2(\alpha x+\beta)^2+ a_1 (\alpha x+\beta)+a_0=\\ \alpha^2 a_2x^2+ (2\alpha\beta a_2+\alpha a_1)x+(\beta^2a_2+\beta a_1+a_0) \end{array}\right\}$$

buluverirdik. İsterseniz $n=2$ için matrisi açıkça yazalım:

$$T\equiv\left(\begin{array}{c c c}\alpha^2 & 0 & 0 \\ 2\alpha\beta & \alpha & 0 \\ \beta^2 & \beta & 1 \end{array}\right)$$

Burada ilgi çekici bir durum var. Dikkat ederseniz bu matrisin sütun elemanları, $n=2$ için, $(\alpha+\beta)^k$, $k=0,1,2$ ifâdelerinin açılımındaki terimlerden oluşmaktadır. Yâni bu dönüşümün matris elemanını oluşturmak için binom açılımı kullanılır ve yeni katsayılar, bu matrisin eski katsayılar vektörüne etki ettirmekle bulunur. 

Belirli bir $i$ teriminin katsayısının $0$ olması problemine buradan nasıl yol bulunur bilmiyorum. 

3, Mayıs, 3 Yasin Şale (1,245 puan) tarafından  cevaplandı
...