$\zeta(s)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac1{n^s}=\prod_{p\in\mathbb P}\dfrac1{1-p^{-s}}$ olduğunun ispatı.İspattaki bariz olmayan bir nokta.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
72 kez görüntülendi

$$\zeta(s)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac1{n^s}=1+\dfrac{1}{2^s}+\dfrac{1}{3^s}+\dfrac{1}{4^s}+\dfrac{1}{5^s}+..$$$$\Rightarrow$$$$1/2^s\zeta(s)=\dfrac{1}{2^s}+\dfrac{1}{6^s}+\dfrac{1}{8^s}+\dfrac{1}{10^s}+..$$$$\Rightarrow$$$$\left(1-\dfrac1{2^s}\right)\zeta(s)=1+\dfrac{1}{3^s}+\dfrac{1}{5^s}+\dfrac{1}{7^s}+\dfrac{1}{9^s}+..$$$$\Rightarrow$$$$1/3^s\left(1-\dfrac1{2^s}\right)\zeta(s)=\dfrac{1}{3^s}+\dfrac{1}{9^s}+\dfrac{1}{15^s}+\dfrac{1}{21^s}+..$$$$\Rightarrow$$$$\left(1-\dfrac1{3^s}\right)\left(1-\dfrac1{2^s}\right)\zeta(s)=1+\dfrac{1}{5^s}+\dfrac{1}{7^s}+\dfrac{1}{11^s}+\dfrac{1}{13^s}+..$$


Böyle devam edilirse;


$$\prod_{p\in\mathbb P}\left(1-\dfrac1{p^s}\right)\zeta(s)=1\quad\Rightarrow\quad \zeta(s)=\dfrac1{\prod_{p\in\mathbb P}\left(1-\dfrac1{p^s}\right)}$$


Dolayısıyla;


$$\boxed{\boxed{\zeta(s)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac1{n^s}=\prod_{p\in\mathbb P}\dfrac1{1-p^{-s}}}}\\ \Box.$$ 





Hassas Kısım hakkındaki İspatım:

Bir zaman sonra $1$ hariç kalan tüm terimlerin toplama işlemine göre tersinin sadece 1 kere toplanması durumunun ispat denemem(yani yapılan işlem sonsuza dek yapılırken yok olacak terimlerin eksilisiyle sadece 1 kere toplandıgını gostermek, aksı halde 1-m gibi bir sayı bulabılırdık.):

"Böyle devam edilirse" kısmında şöyle bir şüphe duydum, $p_\alpha,p_\beta$ iki farklı asal olsun bu asal sayıların öyle bir tam sayılarla çarpımları vardır ki $p_\alpha m_1=p_\beta m_2,\quad m_1,m_2 \in\mathbb Z$  olur.$p_\alpha$, $m_2$yi , $p_\beta$ ise $m_1$'i böler ve $n_1,n_2$ tam sayılar ise;

$m_1=n_1p_\beta$  ve   $m_2=n_2 p_\alpha$ olur.Yukarıdaki eşitlikte yerlerine koyarsak $n_1=n_2$ bulunur, biz bunların $2$sine de $n$ diyelim ($n=n_1=n_2$).


Eğer $\dfrac{1}{(m_1p_\alpha)^s}$ terimi $\zeta(s)$ toplamında var ise ve $p_\alpha<p_\beta$ ise yukarıdaki yöntemde aşağıda yazılan sırada silinecektir.($p_i$, asal sayısı $p_{i+1}$ asal sayısından küçük, en büyük asal sayı olsun.)


$$\dfrac{1}{p_\alpha^s}\left(1-\dfrac{1}{ (p_{\alpha-1})^s}\right)\left(1-\dfrac{1}{ (p_{\alpha-2})^s}\right)...\left(1-\dfrac{1}{ 2^s}\right)\zeta(s)=\dfrac{1}{p_\alpha^s}+\dfrac{1}{p_\alpha^{2s}}+\dfrac{1}{(p_\alpha p_{\alpha+1})^s}+...+\dfrac{1}{(m_1p_\alpha)^s}+....+\dfrac{1}{\left(m_1(p_\alpha)^2\right)^s}+...$$


Bu eşitlik, $\left(1-\dfrac{1}{ (p_{\alpha-1})^s}\right)\left(1-\dfrac{1}{ (p_{\alpha-2})^s}\right)...\left(1-\dfrac{1}{ 2^s}\right)\zeta(s)$ bununla farkı alınınca, $\dfrac{1}{(m_1p_\alpha)^s}$ terimi sadeleşecek ve $p_\alpha m_1=p_\beta m_2$ oldugundan $m_1 p_\alpha$ 'yı üreten bir $p_\beta k,\quad k\in Z$ bulunamayacak. $Q.E.D.\Box$

S.1:İspat için yazdığım yöntem pratik midir? Başka nasıl ispatlanır?

S.2:Bu hassas noktaya girmeden $\zeta$ eşitliği nasıl ispatlanır?

9, Nisan, 2017 Lisans Matematik kategorisinde Anil (7,702 puan) tarafından  soruldu
...